Estatística · CESPE / CEBRASPE · 2023 | Questão sqc-ce156284

Tamanho da amostra para estimar a média com margem de erro fixada

Gabarito: letra D (16). Para estimar a média populacional com desvio-padrão conhecido, o tamanho da amostra é dado por $n = \left(\frac{z \cdot \sigma}{E}\right)^2$ . Com nível de confiança de 90%, o valor crítico é $z = 1,645$ ; com $\sigma = 120$ e $E = 50$ , temos $n = \left(\frac{1,645 \times 120}{50}\right)^2 = (3,948)^2 \approx 15,59$ , que arredondamos para cima, resultando em $n = 16$ .

A questão cobra o cálculo do tamanho amostral para estimar uma média quando a variância populacional é conhecida. Esse é um dos usos mais diretos da fórmula do erro máximo de estimação, que deriva do intervalo de confiança para a média. O erro máximo $E$ é a metade da amplitude do intervalo, e a fórmula que o relaciona com o tamanho da amostra é:

E = z \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}}

Isolando $n$ , obtemos:

n = \left(\frac{z \cdot \sigma}{E}\right)^2

O valor de $z$ depende do nível de confiança. Para 90%, o quantil da normal padrão é $z = 1,645$ (pois a área entre $-1,645$ e $1,645$ é 0,90). Esse é um valor que a banca espera que o candidato conheça, assim como $z = 1,96$ para 95% e $z = 2,58$ para 99%.

Substituindo os valores do enunciado:

n = \left(\frac{1,645 \times 120}{50}\right)^2 = \left(\frac{197,4}{50}\right)^2 = (3,948)^2 \approx 15,59

Como o tamanho da amostra deve ser um número inteiro e precisamos garantir que a margem de erro não ultrapasse R$ 50,00, arredondamos sempre para cima. Assim, $n = 16$ .

NÃO CAIA NESSA!

A banca explora a confusão entre arredondar para cima ou para baixo. O cálculo dá 15,59, e o candidato apressado pode marcar 15 (letra C). Mas, se usarmos $n = 15$ , a margem de erro seria $E = 1,645 \times \frac{120}{\sqrt{15}} \approx 50,97$ , que ultrapassa os R$ 50,00 desejados. Por isso, o arredondamento é sempre para cima: precisamos de pelo menos 16 elementos para garantir a precisão pedida. 💪

Tamanho amostral para estimar média — só Amostras com n=15: E≈50,97 (excede); só Amostras com n=16: E≈47,87 (atende); Amostras com n=15∩Amostras com n=16: n=15,59 (cálculo)

Alternativa A — ❌ Incorreta

O valor 13 é menor que o mínimo necessário. Se $n = 13$ , a margem de erro seria $E = 1,645 \times \frac{120}{\sqrt{13}} \approx 54,75$ , bem acima dos R$ 50,00. Esse número não corresponde a nenhum cálculo direto com os dados; é apenas um distrator.

Alternativa B — ❌ Incorreta

O valor 14 também é insuficiente. Com $n = 14$ , $E = 1,645 \times \frac{120}{\sqrt{14}} \approx 52,75$ , ainda acima do limite. Novamente, não há uma justificativa teórica para esse número; é um distrator.

Alternativa C — ❌ Incorreta

O valor 15 é o resultado do arredondamento para baixo de 15,59. É a pegadinha clássica: o candidato calcula corretamente, mas esquece que o tamanho da amostra deve ser arredondado para cima para garantir a margem de erro máxima. Com $n = 15$ , a margem de erro seria $E \approx 50,97$ , que excede os R$ 50,00.

Alternativa D — ✅ Correta ⟵ GABARITO

O cálculo correto é $n = \left(\frac{1,645 \times 120}{50}\right)^2 = 15,59$ . Como o tamanho da amostra deve ser inteiro e a margem de erro não pode ultrapassar R$ 50,00, arredondamos para cima: $n = 16$ . Esse é o menor tamanho que atende à exigência.

Alternativa E — ❌ Incorreta

O valor 17 é maior que o necessário. Embora atenda à margem de erro (com $n = 17$ , $E \approx 47,87$ ), ele não é o mínimo exigido. A questão pede a quantidade de proprietários que deverão ser selecionados, ou seja, o menor $n$ que satisfaz a condição, que é 16.

Gabarito: letra D