Estatística · CESPE / CEBRASPE · 2023 | Questão sqc-ce156285

EstatísticaPrincipais distribuições de probabilidade

Código: ce156285
Banca: CESPE / CEBRASPE
Órgão: MPE-RO
Ano: 2023
Nível: Superior

Cargo: Analista em Estatística

Assinale a opção em que é apresentada situação na qual o conjunto de variáveis aleatórias { X₁ , X₂, X₃, X₄ } denota uma amostra aleatória simples de tamanho 4, com reposição retirada de uma distribuição de Bernoulli.

AAs variáveis aleatórias são independentes, em que cada X_k segue distribuição de Bernoulli com probabilidade de sucesso p, para todo k ∈ { 1,2,3,4 }.
BX₁segue distribuição de Bernoulli com probabilidade de sucesso , e X₁ , X₂, X₃, e X₄ seguem distribuição de Bernoulli com probabilidade de sucesso p , com .
CX₁ , X₂e seguem distribuição de Bernoulli com probabilidade de sucesso , e X₃ e X₄ seguem distribuição de Bernoulli com probabilidade de sucesso p, com .
DAs variáveis aleatórias são correlacionadas, e cada Xk segue distribuição de Bernoulli com probabilidade de sucesso p, para todo k ∈ { 1,2,3,4 } .
EX₁ segue distribuição de Bernoulli com probabilidade de sucesso p₁ e X₂ segue de Bernoulli com probabilidade de sucesso p₁> p₂.

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GabaritoA — As variáveis aleatórias são independentes, em que cada Xk segue distribuição de Bernoulli com probabilidade de sucesso p, para todo k ∈ { 1,2,3,4 }.

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Amostragem Aleatória Simples (AAS)

Gabarito: letra A. Uma amostra aleatória simples (AAS) de tamanho $n$ é definida por um conjunto de variáveis aleatórias $\{X_1, X_2, \dots, X_n\}$ que são independentes e identicamente distribuídas (i.i.d.), seguindo a mesma distribuição da população de origem. No caso de uma distribuição de Bernoulli com parâmetro $p$ , cada variável $X_k$ deve ter a mesma probabilidade de sucesso $p$ e ser independente das demais.

A definição fundamental de uma amostra aleatória simples exige que as observações sejam independentes entre si e que todas possuam a mesma distribuição de probabilidade da população. Quando retiramos uma amostra com reposição de uma população de Bernoulli, cada extração é um experimento de Bernoulli independente, mantendo a probabilidade de sucesso $p$ constante para cada variável $X_k$ . Se as variáveis não fossem independentes ou não tivessem a mesma distribuição, não teríamos uma amostra aleatória simples.

Alternativa	Independência	Mesma distribuição (mesmo p)	É AAS?
A	✅ Sim	✅ Sim	✅ Correta
B	—	❌ Não (p varia)	❌ Incorreta
C	—	❌ Não (p varia entre subgrupos)	❌ Incorreta
D	❌ Não (correlacionadas)	✅ Sim	❌ Incorreta
E	—	❌ Não (p₁ ≠ p₂)	❌ Incorreta

Alternativa A — ✅ Correta ⟵ GABARITO

Esta alternativa descreve exatamente a definição de uma AAS: as variáveis são independentes e todas seguem a mesma distribuição de Bernoulli com parâmetro $p$ . Esta é a condição necessária e suficiente para que o conjunto $\{X_1, X_2, X_3, X_4\}$ constitua uma amostra aleatória simples de uma distribuição de Bernoulli.

Alternativa B — ❌ Incorreta

Esta alternativa sugere que a probabilidade de sucesso varia entre as observações (ou entre $X_1$ e as demais). Em uma AAS, todas as variáveis devem ser identicamente distribuídas, ou seja, devem possuir o mesmo parâmetro $p$ . A condição de que $p$ seja diferente para algum elemento viola a premissa de que a amostra provém da mesma população.

Alternativa C — ❌ Incorreta

Similar à anterior, esta alternativa propõe que diferentes subconjuntos da amostra possuem probabilidades de sucesso distintas. Isso contradiz a definição de que todos os elementos da amostra devem ser identicamente distribuídos. Se $X_1, X_2$ possuem probabilidade diferente de $X_3, X_4$ , as variáveis não são identicamente distribuídas.

Alternativa D — ❌ Incorreta

Afirma que as variáveis são correlacionadas. Por definição, em uma amostra aleatória simples, as variáveis devem ser independentes. A correlação entre variáveis aleatórias implica dependência, o que invalida a característica de aleatoriedade simples da amostra.

Alternativa E — ❌ Incorreta

Esta alternativa apresenta parâmetros distintos ( $p_1$ e $p_2$ ) para as variáveis. Como discutido, para que o conjunto seja uma amostra aleatória simples, todas as variáveis devem seguir a mesma distribuição, o que exige que o parâmetro de sucesso seja idêntico para todos os elementos da amostra ( $p_1 = p_2 = p$ ).

PEGA ESSA DICA!

Para identificar uma AAS em questões de estatística, busque sempre por dois termos-chave: independentes e identicamente distribuídas. Se o enunciado ou a alternativa sugerir qualquer dependência (correlação) ou variação nos parâmetros da distribuição (diferentes probabilidades), a amostra não é simples.

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