Estatística · CESPE / CEBRASPE · 2023 | Questão sqc-ce156294

Teste qui-quadrado de independência: graus de liberdade

Gabarito: letra B. No teste qui-quadrado de independência entre duas variáveis, o número de graus de liberdade é dado por $(L-1) \times (C-1)$ , em que $L$ é o número de categorias (linhas) da primeira variável e $C$ o número de categorias (colunas) da segunda. Como cada variável tem 3 categorias (ALTO, MÉDIO, BAIXO), temos $(3-1) \times (3-1) = 2 \times 2 = 4$ graus de liberdade.

O teste qui-quadrado de independência é um teste não paramétrico utilizado para verificar se existe associação entre duas variáveis qualitativas (categorizadas). A hipótese nula ( $H_0$ ) afirma que as variáveis são independentes; a alternativa ( $H_1$ ) afirma que são dependentes. A estatística de teste é calculada a partir das frequências observadas e esperadas em uma tabela de contingência, e segue, sob $H_0$ , uma distribuição qui-quadrado com um número de graus de liberdade que depende das dimensões da tabela.

A fórmula dos graus de liberdade é:

GL = (L - 1) \times (C - 1)

em que $L$ é o número de linhas (categorias da primeira variável) e $C$ o número de colunas (categorias da segunda variável). No caso, ambas as variáveis têm 3 categorias, então:

GL = (3 - 1) \times (3 - 1) = 2 \times 2 = 4

A pegadinha clássica da banca é o candidato esquecer de subtrair 1 de cada dimensão e simplesmente multiplicar $3 \times 3 = 9$ , ou então subtrair apenas uma vez, obtendo $3 \times 2 = 6$ ou $2 \times 3 = 6$ . Outra confusão comum é usar a fórmula do teste de aderência, em que $GL = k - 1$ (sendo $k$ o número de categorias), o que daria $3 - 1 = 2$ — mas isso só se aplica quando há uma única variável. No teste de independência, há duas variáveis, e cada uma contribui com suas categorias.

NÃO CAIA NESSA!

A banca explora a confusão entre o teste de aderência (uma variável) e o teste de independência (duas variáveis). No teste de aderência, $GL = k - 1$ ; no de independência, $GL = (L-1)(C-1)$ . Aqui, como são duas variáveis com 3 categorias cada, o cálculo correto é $(3-1)(3-1) = 4$ . Não caia na tentação de usar $3-1=2$ (que seria o GL de um teste de aderência com 3 categorias) nem de multiplicar $3 \times 3 = 9$ sem subtrair.

Graus de liberdade qui-quadrado — só Categorias variável 1: 3; só Categorias variável 2: 3; Categorias variável 1∩Categorias variável 2: 4

Alternativa A — ❌ Incorreta

Afirma que o número de graus de liberdade é 5. Esse valor não corresponde a nenhuma aplicação direta da fórmula. Se o candidato subtraísse 1 de apenas uma das variáveis e multiplicasse pelo número de categorias da outra, obteria $3 \times 2 = 6$ ou $2 \times 3 = 6$ , não 5. Portanto, 5 é um distrator sem fundamento teórico.

Alternativa B — ✅ Correta ⟵ GABARITO

Aplicando corretamente a fórmula $GL = (L-1)(C-1)$ com $L = C = 3$ , obtemos $(3-1)(3-1) = 2 \times 2 = 4$ . Este é o número de graus de liberdade do teste qui-quadrado de independência para duas variáveis com três categorias cada.

Alternativa C — ❌ Incorreta

Afirma que o número de graus de liberdade é 3. Esse valor não decorre da fórmula. Poderia ser obtido se uma das variáveis tivesse 2 categorias e a outra 4 (pois $(2-1)(4-1) = 1 \times 3 = 3$ ), mas aqui ambas têm 3 categorias. Portanto, 3 é um distrator.

Alternativa D — ❌ Incorreta

Afirma que o número de graus de liberdade é 2. Esse valor corresponderia ao teste de aderência com 3 categorias ( $GL = k - 1 = 3 - 1 = 2$ ), mas no teste de independência com duas variáveis de 3 categorias o correto é 4. A banca explora exatamente essa confusão entre os dois testes.

Alternativa E — ❌ Incorreta

Afirma que o número de graus de liberdade é 1. Esse valor seria obtido em uma tabela $2 \times 2$ , pois $(2-1)(2-1) = 1$ . Como aqui temos $3 \times 3$ , o GL é 4, não 1.

Gabarito: letra B