Questão de Estatística — Inferência estatística — CESPE / CEBRASPE 2023

Intervalo de confiança para a média: quantil da normal padrão

Gabarito: letra C. Para um nível de confiança de 90%, o quantil $Z_{\gamma/2}$ é o valor da normal padrão que deixa 5% de probabilidade em cada cauda, ou seja, $P(Z > Z_{\gamma/2}) = 0,05$. O enunciado fornece exatamente $P(Z > 1,645) = 0,05$, portanto $Z_{\gamma/2} = 1,645$, que está entre 1,5 e 2,0.

O intervalo de confiança para a média populacional, quando a variância é conhecida, tem a forma $\bar{X} \pm Z_{\gamma/2} \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}}$. O quantil $Z_{\gamma/2}$ é o valor crítico que delimita a região central de probabilidade $\gamma$ na distribuição normal padrão. Como a distribuição normal é simétrica, a probabilidade total nas duas caudas é $1 - \gamma = 0,10$, e cada cauda concentra $0,05$ de probabilidade. O quantil procurado é, portanto, o valor $z$ tal que $P(Z > z) = 0,05$.

O enunciado fornece uma tabela de probabilidades da cauda superior da normal padrão. O valor que corresponde exatamente a $P(Z > z) = 0,05$ é $z = 1,645$. Esse é o quantil $Z_{\gamma/2}$ para 90% de confiança. Os demais valores fornecidos são distratores: $1,28$ corresponde a 10% na cauda (80% de confiança), $1,96$ corresponde a 2,5% na cauda (95% de confiança), $2,32$ corresponde a 2% na cauda (96% de confiança) e $2,575$ corresponde a 1% na cauda (98% de confiança).

A pegadinha da banca está em fornecer vários valores da tabela normal e esperar que o candidato identifique qual deles corresponde ao nível de confiança pedido. O candidato pode se confundir e usar o quantil para 95% de confiança ($1,96$) ou o valor para 80% ($1,28$), mas o correto é usar o valor que deixa 5% em cada cauda, que é $1,645$.

Alternativa A — ❌ Incorreta

O quantil $Z_{\gamma/2}$ para 90% de confiança é $1,645$, que é superior a 1,0. A alternativa estaria correta apenas se o nível de confiança fosse muito baixo, como 68% ($Z \approx 1,0$), o que não é o caso.

Alternativa B — ❌ Incorreta

O valor $1,645$ é superior a 1,5, portanto não se encaixa no intervalo entre 1,0 e 1,5. Valores nesse intervalo corresponderiam a níveis de confiança entre 68% e 86%, aproximadamente.

Alternativa C — ✅ Correta ⟵ GABARITO

O quantil $Z_{\gamma/2}$ para 90% de confiança é $1,645$, que está entre 1,5 e 2,0. Esse é o valor que deixa 5% de probabilidade em cada cauda da distribuição normal padrão, conforme fornecido no enunciado: $P(Z > 1,645) = 0,05$.

Alternativa D — ❌ Incorreta

O valor $1,645$ é inferior a 2,0, portanto não se encaixa no intervalo entre 2,0 e 2,5. Valores nesse intervalo corresponderiam a níveis de confiança entre 95,4% e 98,8%, aproximadamente.

Alternativa E — ❌ Incorreta

O valor $1,645$ é inferior a 2,5. Valores superiores a 2,5 corresponderiam a níveis de confiança acima de 98,8%, como 99% ($Z \approx 2,575$), o que não é o caso.

Gabarito: letra C