Questão de Estatística — Cálculo de Probabilidades — CESPE / CEBRASPE 2023

Teorema Central do Limite (TCL) e convergência em distribuição

Gabarito: letra C. O Teorema Central do Limite (TCL) estabelece que a soma de variáveis aleatórias independentes e identicamente distribuídas (i.i.d.) com média $\mu$ e variância $\sigma^2$ finitas converge em distribuição para uma normal padrão quando padronizada. Para uma distribuição qui-quadrado com 1 grau de liberdade, temos $\mu = 1$ e $\sigma^2 = 2$. Assim, a soma $S_n = \sum_{k=1}^n X_k$ possui média $E[S_n] = n\mu = n$ e variância $Var(S_n) = n\sigma^2 = 2n$. A padronização correta é $Z_n = \frac{S_n - E[S_n]}{\sqrt{Var(S_n)}} = \frac{S_n - n}{\sqrt{2n}}$, que corresponde à estrutura da alternativa C.

O TCL é um pilar fundamental da inferência estatística. Ele garante que, independentemente da distribuição original das variáveis (desde que tenham média e variância finitas), a média amostral (ou a soma) tenderá a uma distribuição normal conforme o tamanho da amostra $n$ aumenta. No caso específico da distribuição qui-quadrado com 1 grau de liberdade, a média é 1 e a variância é 2. Ao somar $n$ dessas variáveis, a esperança da soma é $n$ e a variância é $2n$. O desvio padrão é, portanto, $\sqrt{2n}$.

Alternativa A — ❌ Incorreta

O denominador utilizado é $\sqrt{n}$, o que ignora a variância da distribuição qui-quadrado ($\sigma^2 = 2$). A padronização correta exige o desvio padrão da soma, que é $\sqrt{2n}$.

Alternativa B — ❌ Incorreta

A expressão apresentada é matematicamente inconsistente com a forma de padronização exigida pelo TCL, falhando em incorporar corretamente a variância da soma.

Alternativa C — ✅ Correta ⟵ GABARITO

Esta alternativa apresenta a forma correta de padronização: subtrai-se a média da soma ($n$) e divide-se pelo desvio padrão da soma ($\sqrt{2n}$), permitindo a convergência para a normal padrão $N(0,1)$.

Alternativa D — ❌ Incorreta

Além de apresentar uma estrutura algébrica incorreta, utiliza valores de média e variância que não correspondem às propriedades da distribuição qui-quadrado com 1 grau de liberdade.

Alternativa E — ❌ Incorreta

Esta alternativa propõe uma divisão por uma constante (2) em vez de utilizar o desvio padrão da soma ($\sqrt{2n}$), o que não resulta em uma variável normal padrão.