Estatística · CESPE / CEBRASPE · 2023 | Questão sqc-ce156300

Valor esperado de variável aleatória contínua

Gabarito: letra D. O valor esperado é $E[X] = \int_0^1 x \cdot f(x)\,dx$ . Primeiro determinamos a constante $c$ impondo que a integral da densidade sobre o domínio seja 1; depois calculamos a integral de $x \cdot c\sqrt{x^5}$ e obtemos $\frac{7}{9}$ .

Para uma variável aleatória contínua, a função densidade de probabilidade (fdp) deve ser não negativa e integrar a 1 sobre todo o espaço amostral. O valor esperado é a média ponderada dos valores de $X$ , onde o peso é a densidade: $E[X] = \int_{-\infty}^{\infty} x f(x)\,dx$ . No caso, $f(x) = c\sqrt{x^5}$ para $x \in [0,1]$ e zero fora desse intervalo.

Passo 1 — Determinar a constante $c$ :

A condição de normalização é:

\int_0^1 c\sqrt{x^5}\,dx = 1

Como $\sqrt{x^5} = x^{5/2}$ , temos:

c \int_0^1 x^{5/2}\,dx = c \cdot \left[\frac{x^{7/2}}{7/2}\right]_0^1 = c \cdot \frac{2}{7} = 1

Portanto, $c = \frac{7}{2}$ .

Passo 2 — Calcular o valor esperado:

E[X] = \int_0^1 x \cdot \frac{7}{2} x^{5/2}\,dx = \frac{7}{2} \int_0^1 x^{7/2}\,dx

E[X] = \frac{7}{2} \cdot \left[\frac{x^{9/2}}{9/2}\right]_0^1 = \frac{7}{2} \cdot \frac{2}{9} = \frac{7}{9}

Assim, o valor esperado é $\frac{7}{9}$ .

Alternativa A — ❌ Incorreta

$\frac{1}{2}$ seria o valor esperado de uma distribuição uniforme em $[0,1]$ , mas aqui a densidade não é constante — ela cresce com $x^{5/2}$ , concentrando mais massa perto de 1. Por isso a média fica acima de $\frac{1}{2}$ .

Alternativa B — ❌ Incorreta

$\frac{1}{3}$ não corresponde a nenhum cálculo direto. Se o aluno esquecesse de normalizar a densidade (usando $c=1$ ), obteria $\frac{2}{9}$ , não $\frac{1}{3}$ . É um distrator sem base específica.

Alternativa C — ❌ Incorreta

$\frac{3}{4}$ é um valor plausível, mas incorreto. Ele surgiria se a constante fosse calculada errada (por exemplo, $c = \frac{3}{2}$ em vez de $\frac{7}{2}$ ) ou se o expoente fosse manipulado incorretamente. O cálculo correto leva a $\frac{7}{9}$ .

Alternativa D — ✅ Correta ⟵ GABARITO

Como demonstrado, $c = \frac{7}{2}$ e $E[X] = \frac{7}{9}$ . A alternativa reproduz exatamente o resultado da integral.

Alternativa E — ❌ Incorreta

$\frac{4}{5}$ é outro distrator. Ele poderia resultar de um erro na integração (por exemplo, tratar $\sqrt{x^5}$ como $x^{5/2}$ mas errar a primitiva) ou de uma normalização incorreta. O valor correto é $\frac{7}{9}$ .

NÃO CAIA NESSA!

A banca explora a pressa: muitos candidatos esquecem de calcular a constante $c$ e usam $c=1$ diretamente, obtendo $\frac{2}{9}$ (que nem está nas alternativas) ou erram a primitiva. O passo de normalizar a densidade é obrigatório — sem ele, qualquer resultado é furado. Sempre verifique se $\int f(x)\,dx = 1$ antes de calcular a esperança.

PEGA ESSA DICA!

Para questões de valor esperado com densidade $f(x) = c \cdot x^k$ em $[0,1]$ , use a fórmula geral: $c = k+1$ e $E[X] = \frac{k+1}{k+2}$ . Aqui $k = 5/2$ , logo $c = 7/2$ e $E[X] = \frac{7/2}{9/2} = \frac{7}{9}$ . Isso economiza tempo na prova.

Gabarito: letra D