Estatística · CESPE / CEBRASPE · 2023 | Questão sqc-ce156302

Probabilidade conjunta de variáveis de Bernoulli

Gabarito: letra C. A probabilidade pedida é $P(B_1=1, B_2=0) = P(B_1=1) - P(B_1=1, B_2=1) = 0{,}7 - 0{,}42 = 0{,}28$ . Isso decorre diretamente das definições de esperança de variável de Bernoulli e da decomposição da probabilidade conjunta em eventos mutuamente exclusivos.

Vamos entender o raciocínio por trás da questão. Uma variável aleatória de Bernoulli assume apenas os valores 0 e 1. A esperança de uma Bernoulli é exatamente a probabilidade de ela assumir o valor 1: $E[B] = P(B=1)$ . Portanto, temos:

$E[B_1] = P(B_1=1) = 0{,}7$
$E[B_2] = P(B_2=1) = 0{,}6$
$E[B_1 B_2] = P(B_1=1 \text{ e } B_2=1) = 0{,}42$ (pois o produto $B_1 B_2$ só é 1 quando ambas são 1)

Queremos $P(B_1=1, B_2=0)$ . O evento " $B_1=1$ " pode ser decomposto em dois eventos mutuamente exclusivos: " $B_1=1$ e $B_2=1$ " e " $B_1=1$ e $B_2=0$ ". Assim:

P(B_1=1) = P(B_1=1, B_2=1) + P(B_1=1, B_2=0)

Substituindo os valores:

0{,}7 = 0{,}42 + P(B_1=1, B_2=0)

P(B_1=1, B_2=0) = 0{,}7 - 0{,}42 = 0{,}28

Portanto, a alternativa correta é a letra C.

Probabilidades conjuntas de Bernoulli — só B1=1: 0.28; só B2=1: 0.18; B1=1∩B2=1: 0.42

Alternativa A — ❌ Incorreta

O valor 0,12 corresponde a $P(B_1=1, B_2=0)$ se as variáveis fossem independentes? Não, na independência teríamos $P(B_1=1, B_2=0) = 0{,}7 \times 0{,}4 = 0{,}28$ , que é o gabarito. O valor 0,12 é justamente a diferença entre $P(B_1=1, B_2=1)$ e $P(B_2=1)$ ? Não, $0{,}6 - 0{,}42 = 0{,}18$ . O 0,12 não corresponde a nenhuma operação direta com os dados fornecidos; é um distrator numérico sem fundamento.

Alternativa B — ❌ Incorreta

0,18 é o resultado de $P(B_2=1) - P(B_1=1, B_2=1) = 0{,}6 - 0{,}42$ , que seria $P(B_1=0, B_2=1)$ . O candidato que confunde os papéis das variáveis chega a esse valor, mas a questão pede $P(B_1=1, B_2=0)$ , não o caso simétrico.

Alternativa C — ✅ Correta ⟵ GABARITO

Como demonstrado, $P(B_1=1, B_2=0) = P(B_1=1) - P(B_1=1, B_2=1) = 0{,}7 - 0{,}42 = 0{,}28$ . A alternativa espelha exatamente o resultado da decomposição correta.

Alternativa D — ❌ Incorreta

0,42 é o valor de $E[B_1 B_2] = P(B_1=1, B_2=1)$ . O candidato que confunde a probabilidade conjunta de ambos serem 1 com a probabilidade de $B_1=1$ e $B_2=0$ cai nessa alternativa. São eventos distintos: um exige que ambas sejam 1, o outro que $B_1$ seja 1 e $B_2$ seja 0.

Alternativa E — ❌ Incorreta

0,49 é o quadrado de 0,7, ou seja, $P(B_1=1)^2$ . Esse valor não tem relação com a probabilidade pedida, a menos que houvesse independência e $P(B_2=0)$ fosse 0,7, o que não é o caso. É um distrator que explora a tentação de elevar a probabilidade ao quadrado sem justificativa.

NÃO CAIA NESSA!

A banca explora a confusão entre as probabilidades conjuntas: $P(B_1=1, B_2=1) = 0{,}42$ é dado, mas a questão pede $P(B_1=1, B_2=0)$ . Muitos candidatos usam 0,42 diretamente (alternativa D) ou tentam multiplicar probabilidades como se fossem independentes (0,7 × 0,4 = 0,28, que por coincidência é o gabarito, mas o raciocínio correto é outro). Fique atento: a independência não foi afirmada, e o valor de $E[B_1 B_2]$ já nos dá a probabilidade conjunta de ambos serem 1.

PEGA ESSA DICA!

Para variáveis de Bernoulli, lembre-se sempre: $E[B] = P(B=1)$ e $E[B_1 B_2] = P(B_1=1, B_2=1)$ . Use a decomposição do evento " $B_1=1$ " em dois casos mutuamente exclusivos (com $B_2=1$ e com $B_2=0$ ) para isolar a probabilidade desejada. Esse tipo de questão é comum em concursos e exige apenas a aplicação direta dessas propriedades.

Gabarito: letra C