Questão de Estatística — Principais distribuições de probabilidade — CESPE / CEBRASPE 2023

Distribuição exponencial e estatística de ordem mínima

Gabarito: letra E. O valor mínimo de uma amostra de tamanho $n$ retirada de uma exponencial com parâmetro $\lambda$ também segue uma distribuição exponencial, com parâmetro $n\lambda$. Como a média da exponencial original é $1/\lambda = 0{,}5$, temos $\lambda = 2$. Para $n = 10$, o mínimo tem parâmetro $10 \times 2 = 20$, cuja média e desvio padrão são $1/20 = 0{,}05$.

A questão explora duas propriedades clássicas: a da distribuição exponencial (média e desvio padrão iguais a $1/\lambda$) e a da distribuição do mínimo de uma amostra (que permanece exponencial, com taxa multiplicada por $n$). Vamos detalhar cada uma.

1. Distribuição exponencial — Uma variável $X \sim \text{Exp}(\lambda)$ tem função densidade $f(x) = \lambda e^{-\lambda x}$ para $x \geq 0$, com $E(X) = 1/\lambda$ e $\text{Var}(X) = 1/\lambda^2$. Portanto, o desvio padrão é $1/\lambda$. Se a média é $0{,}5$, então $1/\lambda = 0{,}5 \Rightarrow \lambda = 2$.

2. Distribuição do mínimo — Se $X_1, \dots, X_n$ são i.i.d. com distribuição exponencial de parâmetro $\lambda$, o mínimo $Y = \min(X_1, \dots, X_n)$ tem distribuição exponencial com parâmetro $n\lambda$. Isso decorre da função de sobrevivência: $P(Y > y) = P(X_1 > y)^n = (e^{-\lambda y})^n = e^{-n\lambda y}$. Assim, $Y \sim \text{Exp}(n\lambda)$, com média e desvio padrão $1/(n\lambda)$.

Aplicando: $n = 10$, $\lambda = 2$, logo $n\lambda = 20$ e o desvio padrão do mínimo é $1/20 = 0{,}05$.

Alternativa A — ❌ Incorreta

O valor 20 corresponde ao parâmetro $n\lambda$ da distribuição do mínimo, não ao desvio padrão. O candidato que calcula $n\lambda$ e para por aí marca esta alternativa, esquecendo que o desvio padrão da exponencial é o inverso do parâmetro.

Alternativa B — ❌ Incorreta

O valor 5 não tem relação direta com os dados. Se o candidato confundisse a média do mínimo com $1/(n\lambda)$ e errasse o cálculo, poderia chegar a $1/0{,}2 = 5$, mas isso não corresponde a nenhuma etapa correta da resolução.

Alternativa C — ❌ Incorreta

O valor 0,2 é o inverso de 5, que por sua vez é o inverso de 0,2 — uma inversão típica. Na verdade, $0{,}2$ seria o desvio padrão se $n\lambda = 5$, o que não é o caso. O candidato pode ter confundido a média do mínimo com a média original ($0{,}5$) dividida por algo, ou ter usado $\lambda = 2$ sem multiplicar por $n$ e depois invertido incorretamente.

Alternativa D — ❌ Incorreta

O valor 0,1 seria o desvio padrão se $n\lambda = 10$, ou seja, se $n = 5$ (com $\lambda = 2$). É um distrator que explora a troca do tamanho amostral: quem usa $n = 5$ em vez de $n = 10$ chega a $1/(5 \times 2) = 0{,}1$.

Alternativa E — ✅ Correta ⟵ GABARITO

Como demonstrado, o mínimo de 10 observações de uma exponencial com média 0,5 (parâmetro $\lambda = 2$) tem distribuição exponencial com parâmetro $n\lambda = 20$, cujo desvio padrão é $1/20 = 0{,}05$. A alternativa reproduz exatamente esse valor.

Gabarito: letra E