Estatística · CESPE / CEBRASPE · 2023 | Questão sqc-ce156304

Distribuição de Bernoulli via mistura com uniforme

Gabarito: letra E. A variável X, condicionada a Y = y, tem distribuição de Bernoulli com parâmetro y, e como Y é uniforme em (0,1), a distribuição marginal de X é Bernoulli com probabilidade de sucesso p = E[Y] = 0,5. Isso decorre da lei da probabilidade total: P(X = 1) = E[P(X = 1 | Y)] = E[Y] = 0,5.

A questão explora a relação entre distribuições condicionais e marginais. Temos que X é uma variável aleatória discreta que assume apenas os valores 0 e 1, e a probabilidade condicional dada é a função de probabilidade de uma Bernoulli com parâmetro y. Como Y é uniforme contínua em (0,1), sua densidade é f(y) = 1 para 0 < y < 1. Para obter a distribuição marginal de X, integramos a conjunta sobre y:

P(X = 1) = ∫₀¹ P(X = 1 | Y = y) f(y) dy = ∫₀¹ y · 1 dy = [y²/2]₀¹ = 1/2.

Analogamente, P(X = 0) = ∫₀¹ (1 - y) dy = 1/2. Portanto, X assume 0 e 1 com probabilidade 0,5 cada, o que caracteriza exatamente uma distribuição de Bernoulli com p = 0,5. A alternativa E é a correta.

Caso	Atribuição de X	P(X = x) calculado	Resultado
x = 1	P(X = 1) = ∫₀¹ y · 1 dy	[y²/2]₀¹ = 1/2	Bernoulli com p = 0,5
x = 0	P(X = 0) = ∫₀¹ (1 − y) · 1 dy	[y − y²/2]₀¹ = 1/2	Bernoulli com p = 0,5

Alternativa A — ❌ Incorreta

A distribuição uniforme contínua no intervalo (0,1) é uma distribuição contínua, com densidade constante e suporte contínuo. X, porém, é uma variável discreta (assume apenas 0 e 1), portanto não pode seguir uma distribuição contínua. A confusão aqui é pensar que, como Y é uniforme, X também seria; mas X é condicionada a Y e sua marginal é discreta.

Alternativa B — ❌ Incorreta

A distribuição beta é uma distribuição contínua com suporte (0,1) e dois parâmetros de forma. X é discreta, então não pode ser beta. Além disso, os parâmetros 0,5 e 0,5 corresponderiam a uma distribuição beta simétrica em forma de U, o que não tem relação com a Bernoulli marginal obtida.

Alternativa C — ❌ Incorreta

A distribuição binomial com n = 2 e p = 0,25 é uma distribuição discreta que assume valores 0, 1 e 2, com probabilidades dadas pela fórmula binomial. X, porém, só assume 0 e 1, e a probabilidade de sucesso é 0,5, não 0,25. A confusão pode vir de pensar em dois ensaios, mas o enunciado define X com suporte {0,1}.

Alternativa D — ❌ Incorreta

A distribuição de Poisson é uma distribuição discreta com suporte nos inteiros não negativos (0, 1, 2, ...) e parâmetro λ (média). X só assume 0 e 1, e a média de X é 0,5, mas isso não a torna Poisson: a Poisson tem probabilidade positiva para valores maiores que 1, o que não ocorre aqui. A média 0,5 é um distrator numérico, mas a estrutura da distribuição é diferente.

Alternativa E — ✅ Correta ⟵ GABARITO

Como demonstrado, P(X = 1) = 0,5 e P(X = 0) = 0,5. Uma variável aleatória que assume apenas dois valores, 0 e 1, com probabilidade de sucesso p, segue distribuição de Bernoulli. Aqui p = 0,5, exatamente o que a alternativa afirma. A chave é reconhecer que a marginal de X é uma mistura de Bernoullis com parâmetro aleatório Y, e a probabilidade de sucesso é a esperança de Y.

NÃO CAIA NESSA!

A banca tenta confundir o candidato ao apresentar Y uniforme contínua, levando a pensar que X também seria contínua (alternativa A) ou que seguiria uma distribuição contínua como a beta (alternativa B). O ponto central é que X é discreta, e a uniformidade de Y apenas faz com que a probabilidade de sucesso seja a média de Y, ou seja, 0,5. Fique atento: quando a condicional é Bernoulli(p) e p é aleatório, a marginal é Bernoulli com p = E[p].

PEGA ESSA DICA!

Para resolver questões de distribuição marginal a partir de condicional, use a lei da probabilidade total: P(X = x) = ∫ P(X = x | Y = y) f_Y(y) dy. No caso de Bernoulli, basta calcular P(X = 1) e P(X = 0). Se a condicional é Bernoulli(Y) e Y tem média μ, então X ~ Bernoulli(μ).

Gabarito: letra E.