Estatística · CESPE / CEBRASPE · 2023 | Questão sqc-ce156305

Cálculo de Probabilidades: variável aleatória discreta

Gabarito: letra D. A probabilidade pedida é $P(X=2) = P(X>1) - P(X>2) = 0,8^2 - 0,8^3 = 0,64 - 0,512 = 0,128$ . A chave é perceber que a função de sobrevivência dada, $P(X>x) = 0,8^{x+1}$ , permite obter a função de probabilidade pontual por diferença de valores consecutivos da cauda.

A questão trabalha com a relação entre a função de sobrevivência (cauda à direita) e a função de probabilidade de uma variável aleatória discreta. Para uma variável discreta $X$ que assume valores inteiros não negativos, o evento $\{X = x\}$ é exatamente a diferença entre os eventos $\{X > x-1\}$ e $\{X > x\}$ . Isso porque $X > x-1$ inclui todos os valores a partir de $x$ , e subtrair $X > x$ remove todos os valores a partir de $x+1$ , restando apenas o valor $x$ .

A banca explora justamente a confusão entre a função de sobrevivência e a função de probabilidade: muitos candidatos tentam usar diretamente $P(X=2) = 0,8^3$ , o que está errado, pois $0,8^{x+1}$ é a probabilidade de $X$ ser maior que $x$ , não a probabilidade de $X$ ser igual a $x$ . A diferença entre eventos consecutivos é o caminho correto.

Alternativa A — ❌ Incorreta

O valor 0,8 é simplesmente a base da potência, ou seja, $P(X>0) = 0,8^{1} = 0,8$ . Não corresponde a $P(X=2)$ .

Alternativa B — ❌ Incorreta

O valor 0,64 é $0,8^2$ , que é $P(X>1)$ , a probabilidade de $X$ ser maior que 1. Não é a probabilidade de $X$ ser exatamente 2.

Alternativa C — ❌ Incorreta

O valor 0,16 é $0,8^2 \times 0,2$ (ou $0,8^2 - 0,8^3$ calculado de forma aproximada? Não, 0,16 é $0,8 \times 0,2$ ). Na verdade, 0,16 é o resultado de $0,8 \times 0,2$ , que não tem relação direta com o cálculo pedido. O valor correto é 0,128.

Alternativa D — ✅ Correta ⟵ GABARITO

Aplicando a diferença de eventos consecutivos: $P(X=2) = P(X>1) - P(X>2)$ . Substituindo os valores: $P(X>1) = 0,8^{2} = 0,64$ e $P(X>2) = 0,8^{3} = 0,512$ . Portanto, $P(X=2) = 0,64 - 0,512 = 0,128$ .

Alternativa E — ❌ Incorreta

O valor 0,1024 é $0,8^4$ , que seria $P(X>3)$ . Não corresponde a $P(X=2)$ .

NÃO CAIA NESSA!

A banca troca a função de sobrevivência pela função de probabilidade. O candidato apressado pode calcular $0,8^3 = 0,512$ (que nem está nas alternativas) ou confundir $P(X>1)$ com $P(X=2)$ . A sacada é sempre lembrar: para variável discreta, a probabilidade pontual é a diferença entre dois valores consecutivos da cauda.

PEGA ESSA DICA!

Quando a questão fornece $P(X > x)$ , use a identidade $P(X = x) = P(X > x-1) - P(X > x)$ para valores inteiros. Isso transforma a cauda em probabilidade pontual sem precisar da função de distribuição acumulada.

Gabarito: letra D