Estatística · CESPE / CEBRASPE · 2023 | Questão sqc-ce156306

Média de uma variável aleatória discreta

Gabarito: letra B. A média (esperança) de uma variável aleatória discreta é a soma de cada valor multiplicado pela sua probabilidade. Como a soma das probabilidades deve ser 1, primeiro determinamos o valor de $a/b$ e depois calculamos $E(W) = 0 \cdot P(W=0) + 1 \cdot P(W=1) + 2 \cdot P(W=2)$ , que resulta em $4/3$ .

A questão exige dois passos: (1) usar a condição de que a soma das probabilidades é 1 para encontrar a relação entre $a$ e $b$ ; (2) aplicar a definição de esperança matemática. Vamos detalhar.

Passo 1: Encontrar $a/b$ a partir da soma das probabilidades

As probabilidades dadas são:

$P(W=0) = \frac{a}{b}$
$P(W=1) = \frac{2a}{b}$
$P(W=2) = \frac{3a}{b}$

Como a soma de todas as probabilidades de uma distribuição de probabilidade é igual a 1, temos:

\frac{a}{b} + \frac{2a}{b} + \frac{3a}{b} = 1

\frac{6a}{b} = 1 \Rightarrow \frac{a}{b} = \frac{1}{6}

Passo 2: Calcular a média (esperança) de W

A média de uma variável aleatória discreta é dada por:

E(W) = \sum w \cdot P(W = w)

Substituindo os valores:

E(W) = 0 \cdot \frac{a}{b} + 1 \cdot \frac{2a}{b} + 2 \cdot \frac{3a}{b} = 0 + \frac{2a}{b} + \frac{6a}{b} = \frac{8a}{b}

Como $\frac{a}{b} = \frac{1}{6}$ , temos:

E(W) = 8 \cdot \frac{1}{6} = \frac{8}{6} = \frac{4}{3}

Portanto, a média de W é $\frac{4}{3}$ .

Análise das alternativas

1Somar probabilidades = 1
2Encontrar a/b = 1/6
3E(W) = Σ w·P(w)
4E(W) = 8·(1/6) = 4/3

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Alternativa A — ❌ Incorreta

O valor 1 seria a média se as probabilidades fossem simétricas em torno de 1, mas aqui as probabilidades crescem com o valor de W (proporcionais a 1, 2 e 3), puxando a média para cima. O cálculo correto resulta em $4/3$ , não 1.

Alternativa B — ✅ Correta ⟵ GABARITO

Como demonstrado, $E(W) = \frac{8a}{b} = \frac{8}{6} = \frac{4}{3}$ . A alternativa reproduz exatamente o valor obtido.

Alternativa C — ❌ Incorreta

O valor $3/2$ (1,5) seria obtido se a soma das probabilidades fosse interpretada incorretamente, por exemplo, se alguém calculasse a média como $(0+1+2)/2 = 1,5$ , ignorando as probabilidades. Mas a média ponderada correta é $4/3$ .

Alternativa D — ❌ Incorreta

O valor $7/4$ (1,75) não corresponde a nenhum cálculo direto com os dados. Pode ser um distrator para quem erra na soma das probabilidades ou na multiplicação final.

Alternativa E — ❌ Incorreta

O valor 2 seria a média se toda a probabilidade estivesse concentrada em W=2, o que não é o caso. As probabilidades estão distribuídas entre 0, 1 e 2, com maior peso em 2, mas não o suficiente para levar a média a 2.

NÃO CAIA NESSA!

A banca explora a pressa: muitos candidatos calculam a média como $(0+1+2)/3 = 1$ (alternativa A) ou simplesmente somam os valores e dividem por 2, esquecendo de usar as probabilidades como pesos. O segredo é sempre verificar se a soma das probabilidades é 1 antes de calcular a esperança — isso destrava o valor de $a/b$ .

PEGA ESSA DICA!

Em questões de esperança de variável aleatória discreta, siga sempre o roteiro: (1) confira se $\sum P(X=x) = 1$ ; (2) se houver parâmetros desconhecidos, use essa condição para encontrá-los; (3) aplique $E(X) = \sum x \cdot P(X=x)$ . Esse método resolve a maioria das questões do CESPE sobre o tema.

Gabarito: letra B