Questão de Estatística — Cálculo de Probabilidades — CESPE / CEBRASPE 2023

Variância da distribuição uniforme contínua

Gabarito: letra A. A condição $F(x_2) - F(x_1) = x_2 - x_1$ para todo $0 < x_1 < x_2 < 1$ caracteriza a distribuição uniforme contínua no intervalo (0, 1), cuja variância é $\frac{(b-a)^2}{12} = \frac{1}{12}$.

A função de distribuição acumulada (FDA) de uma variável aleatória contínua $X$ é definida como $F(x) = P(X \leq x)$. A diferença $F(x_2) - F(x_1)$ representa a probabilidade de $X$ estar no intervalo $(x_1, x_2]$, ou seja, $P(x_1 < X \leq x_2)$. O enunciado afirma que essa probabilidade é exatamente igual ao comprimento do intervalo, $x_2 - x_1$. Isso significa que a probabilidade de $X$ cair em qualquer subintervalo de (0, 1) é proporcional ao seu comprimento — a propriedade fundamental da distribuição uniforme contínua.

Para a distribuição uniforme no intervalo $(a, b)$, a função densidade de probabilidade é constante e igual a $\frac{1}{b-a}$ dentro do intervalo. A média é o ponto médio $\frac{a+b}{2}$ e a variância é dada por $\frac{(b-a)^2}{12}$. No caso, $a = 0$ e $b = 1$, logo a variância é $\frac{(1-0)^2}{12} = \frac{1}{12}$.

A pegadinha da questão está em reconhecer a distribuição a partir da propriedade da FDA, em vez de decorar a fórmula. O candidato que não identifica a uniforme pode tentar calcular a variância por definição, o que é mais trabalhoso e sujeito a erro.

Alternativa A — ✅ Correta ⟵ GABARITO

A condição dada define a distribuição uniforme contínua em (0, 1). A variância da uniforme em $(a, b)$ é $\frac{(b-a)^2}{12}$. Com $a=0$ e $b=1$, temos $\frac{1}{12}$.

Alternativa B — ❌ Incorreta

$\frac{1}{3}$ seria a variância de uma uniforme em um intervalo de comprimento 2, pois $\frac{2^2}{12} = \frac{4}{12} = \frac{1}{3}$. O candidato pode ter confundido o comprimento do intervalo.

Alternativa C — ❌ Incorreta

$\frac{1}{2}$ é a média da distribuição uniforme em (0, 1), não a variância. É uma confusão comum entre média e variância.

Alternativa D — ❌ Incorreta

1 seria a variância de uma uniforme em um intervalo de comprimento $\sqrt{12}$, ou a variância de uma Bernoulli com $p = 0,5$. Não corresponde à uniforme (0, 1).

Alternativa E — ❌ Incorreta

$\frac{3}{2}$ não tem relação direta com a variância da uniforme (0, 1). Pode ser um distrator numérico sem significado específico.

Gabarito: letra A.