Questão de Raciocínio Lógico — Diagramas de Venn (Conjuntos) — CESPE / CEBRASPE 2023

Problemas com Dois Conjuntos – Diagrama de Venn

Gabarito: letra B (entre 2.600 e 2.900). O total de pesquisados é dado pela soma das regiões do diagrama de Venn: apenas paranaenses, apenas mato-grossenses, a interseção e os que não são descendentes de nenhum dos dois. Com os dados fornecidos, o total é 2.800, que se encaixa no intervalo da alternativa B.

Vamos organizar os dados. Sejam:

• $P$: conjunto dos descendentes de paranaenses;

• $M$: conjunto dos descendentes de mato-grossenses.

O enunciado fornece:

• $|P \cap M| = 400$ (descendentes de paranaenses e mato-grossenses);

• $|P| = 1.500$ (descendentes de paranaenses);

• $|\overline{M}| = 1.800$ (não descendentes de mato-grossenses);

• $|P \cup M| = 2.100$ (descendentes de paranaenses ou de mato-grossenses).

A pegadinha clássica aqui é confundir "não descendentes de mato-grossenses" com "apenas paranaenses". Na verdade, $|\overline{M}|$ inclui tanto os que são apenas paranaenses quanto os que não são descendentes de nenhum dos dois estados. Vamos calcular cada região:

1. Apenas paranaenses: $|P| - |P \cap M| = 1.500 - 400 = 1.100$.

2. Apenas mato-grossenses: $|P \cup M| - |P| = 2.100 - 1.500 = 600$.

3. Interseção: 400 (dado).

4. Fora dos dois conjuntos: $|\overline{M}| - \text{apenas paranaenses} = 1.800 - 1.100 = 700$.

O total de pesquisados é a soma de todas as regiões:

Portanto, o número de participantes está entre 2.600 e 2.900.

Alternativa A — ❌ Incorreta

Afirma que o total está entre 2.200 e 2.600. Esse intervalo é baixo demais: o total calculado é 2.800. O candidato que erra aqui provavelmente esqueceu de somar a região "fora" (700) ou subtraiu a interseção de forma incorreta.

Alternativa B — ✅ Correta ⟵ GABARITO

O total de pesquisados é 2.800, que está entre 2.600 e 2.900. A alternativa espelha exatamente o resultado obtido pela soma das quatro regiões do diagrama.

Alternativa C — ❌ Incorreta

Afirma que o total está entre 2.900 e 3.200. Esse intervalo é alto demais. O erro típico aqui é somar $|P| + |M| + |\overline{M}|$ sem subtrair a interseção, ou contar a interseção duas vezes. Por exemplo, $1.500 + 600 + 1.800 = 3.900$, que nem aparece nas alternativas, mas mostra como a soma incorreta infla o resultado.

Alternativa D — ❌ Incorreta

Afirma que o total está entre 3.200 e 3.500. Novamente, um valor superestimado. Quem chega a esse número provavelmente somou $|P| + |M| + |\overline{M}|$ e depois subtraiu apenas parte da interseção, ou usou $|P \cup M| + |\overline{M}| = 2.100 + 1.800 = 3.900$ e depois ajustou incorretamente.

Alternativa E — ❌ Incorreta

Afirma que o total está entre 3.500 e 3.800. Esse é o intervalo mais alto, resultado de uma soma sem as devidas subtrações. Por exemplo, $|P| + |M| + |\overline{M}| = 1.500 + 1.000 + 1.800 = 4.300$ (se $|M|$ fosse calculado como $|P \cup M| - |P| + |P \cap M| = 600 + 400 = 1.000$), o que mostra como a contagem dupla da interseção infla o total.

Gabarito: letra B