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Questão de Matemática — Geometria Plana — CESPE / CEBRASPE 2023

MatemáticaGeometria Plana
Código
ce157700
Banca
CESPE / CEBRASPE
Órgão
POLC-AL
Ano
2023
Nível
Superior
Cargo
PO-AL - Papiloscopista
Com relação a tópicos de matemática, julgue o item a seguir.Em um triângulo isósceles ΔABC, em que Imagem associada para resolução da questão e  = 75∘ , o lado Imagem associada para resolução da questão
  1. CCerto
  2. EErrado
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GabaritoE — Errado

Comentário gerado por IA. É um apoio ao estudo, ancorado em fontes, mas pode conter imprecisões — confira sempre na fonte oficial (lei, súmula, edital e gabarito da banca). Encontrou um erro? Use “Reportar”.

Geometria Plana: Lei dos Cossenos em Triângulos Isósceles

Gabarito: ❌ ERRADO. A aplicação da Lei dos Cossenos para determinar o lado BC‾\overline{BC} de um triângulo isósceles ΔABC\Delta ABC com lados iguais L=24L = \sqrt[4]{2} e ângulo do vértice A^=75∘\hat{A} = 75^\circ resulta em um valor diferente da expressão fornecida no enunciado.

Para calcular o lado oposto ao ângulo A^\hat{A} em um triângulo, utilizamos a Lei dos Cossenos:

BC2=AB2+AC2−2⋅AB⋅AC⋅cos⁡(A^)BC^2 = AB^2 + AC^2 - 2 \cdot AB \cdot AC \cdot \cos(\hat{A})

Sendo AB=AC=24AB = AC = \sqrt[4]{2}, temos:

BC2=(24)2+(24)2−2⋅(24)⋅(24)⋅cos⁡(75∘)BC^2 = (\sqrt[4]{2})^2 + (\sqrt[4]{2})^2 - 2 \cdot (\sqrt[4]{2}) \cdot (\sqrt[4]{2}) \cdot \cos(75^\circ)
BC2=2+2−2⋅2⋅cos⁡(75∘)BC^2 = \sqrt{2} + \sqrt{2} - 2 \cdot \sqrt{2} \cdot \cos(75^\circ)
BC2=22⋅(1−cos⁡(75∘))BC^2 = 2\sqrt{2} \cdot (1 - \cos(75^\circ))

O valor de cos⁡(75∘)\cos(75^\circ) pode ser obtido pela fórmula do cosseno da soma: cos⁡(45∘+30∘)=cos⁡(45∘)cos⁡(30∘)−sin⁡(45∘)sin⁡(30∘)=22⋅32−22⋅12=6−24\cos(45^\circ + 30^\circ) = \cos(45^\circ)\cos(30^\circ) - \sin(45^\circ)\sin(30^\circ) = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}.

Substituindo:

BC2=22⋅(1−6−24)=22⋅(4−6+24)=2(4−6+2)2=42−23+22=22−3+1BC^2 = 2\sqrt{2} \cdot \left(1 - \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}\right) = 2\sqrt{2} \cdot \left(\frac{4 - \sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}\right) = \frac{\sqrt{2}(4 - \sqrt{6} + \sqrt{2})}{2} = \frac{4\sqrt{2} - 2\sqrt{3} + 2}{2} = 2\sqrt{2} - \sqrt{3} + 1

Portanto, BC=1+22−3BC = \sqrt{1 + 2\sqrt{2} - \sqrt{3}}, o que não coincide com a expressão apresentada na questão. A afirmação é, portanto, falsa.

PEGA ESSA DICA!

Ao lidar com ângulos não notáveis como 75∘75^\circ, lembre-se sempre de decompor em ângulos conhecidos (45∘+30∘45^\circ + 30^\circ) para aplicar as fórmulas de adição de arcos. A Lei dos Cossenos é a ferramenta padrão para encontrar o terceiro lado de um triângulo quando conhecemos dois lados e o ângulo entre eles.

Gabarito: ❌ ERRADO.

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