Questão de Matemática — Funções — CESPE / CEBRASPE 2023

Função composta e função inversa: logaritmo e exponencial

Gabarito: letra C (CERTO). Se $f(x) = \log_2 x$ e $f(g(x)) = x+3$, então, pela definição de logaritmo, $g(x) = 2^{x+3}$. A afirmação está correta, pois aplica corretamente a inversa da função logarítmica.

A questão cobra a relação entre função composta e função inversa. Quando temos $f(g(x))$, estamos substituindo a variável $x$ da função $f$ pela expressão $g(x)$. Aqui, $f(x) = \log_2 x$, então $f(g(x)) = \log_2(g(x))$. O enunciado afirma que isso é igual a $x+3$. Para encontrar $g(x)$, precisamos "desfazer" o logaritmo: se $\log_2(g(x)) = x+3$, então, pela definição de logaritmo, $g(x) = 2^{x+3}$. Isso porque a função exponencial de base 2 é a inversa da função logarítmica de base 2.

A pegadinha clássica aqui é o candidato esquecer de aplicar a exponencial e simplesmente "cortar" o log, escrevendo $g(x) = x+3$ — o que estaria errado. Outro erro comum é inverter a base: usar $g(x) = (x+3)^2$ em vez de $2^{x+3}$. A chave é lembrar que a operação inversa do logaritmo é a exponenciação com a mesma base.

Item — ✅ CERTO

A afirmação está correta. Vejamos o passo a passo:

1. Temos $f(x) = \log_2 x$.

2. Então $f(g(x)) = \log_2(g(x))$.

3. O enunciado diz que $f(g(x)) = x+3$, logo $\log_2(g(x)) = x+3$.

4. Aplicando a definição de logaritmo: se $\log_b(a) = c$, então $a = b^c$. Aqui, $b=2$, $a=g(x)$ e $c=x+3$.

5. Portanto, $g(x) = 2^{x+3}$.

A expressão $2^{x+3}$ é exatamente o que o item afirma. Logo, o item está CERTO.

Gabarito: letra C (CERTO).