Questão de Estatística — Principais distribuições de probabilidade — CESPE / CEBRASPE 2023

Distribuição da média amostral e a confusão com a binomial

❌ ERRADO. A variável $\bar{Y} \times 16$ não segue distribuição binomial com parâmetro $n = 16$; ela é uma combinação linear de normais independentes e, portanto, também tem distribuição normal (com média $160$ e desvio padrão $128$). A banca explora a confusão entre o número de observações ($n=16$) e o parâmetro da binomial ($n$), que são conceitos distintos.

A questão envolve a distribuição amostral da média. Quando a população é normal, a média amostral $\bar{Y}$ também é normal, com:

• $E(\bar{Y}) = \mu = 10$

• $Var(\bar{Y}) = \dfrac{\sigma^2}{n} = \dfrac{32^2}{16} = 64$

• $DP(\bar{Y}) = \dfrac{\sigma}{\sqrt{n}} = \dfrac{32}{4} = 8$

Assim, $\bar{Y} \sim N(10, 8^2)$. Multiplicar por 16 é uma transformação linear: $16\bar{Y} \sim N(16 \times 10, 16^2 \times 8^2) = N(160, 128^2)$. Ou seja, a variável é contínua e normal, não discreta e binomial.

A distribuição binomial modela o número de sucessos em $n$ ensaios de Bernoulli independentes, com probabilidade $p$ de sucesso em cada ensaio. Ela é discreta, com suporte $\{0, 1, \dots, n\}$, e seus parâmetros são $n$ (número de ensaios) e $p$ (probabilidade de sucesso). Aqui não há ensaios de Bernoulli, nem contagem de sucessos — há uma soma de variáveis normais contínuas. O número 16 aparece apenas como tamanho da amostra, não como parâmetro de uma binomial.

A pegadinha está em associar o "16" do enunciado ao "$n = 16$" da binomial, quando na verdade ele é o tamanho da amostra que entra na fórmula da variância da média amostral. O candidato que confunde esses papéis marca "Certo" sem perceber que a natureza da distribuição (contínua vs. discreta) é completamente diferente.

Gabarito: letra E (ERRADO).