Estatística · CESPE / CEBRASPE · 2023 | Questão sqc-ce161098

Distribuição amostral da média e a mediana na distribuição normal

Gabarito: letra C (CERTO). Em uma população com distribuição normal, a média e a mediana coincidem, pois a curva é simétrica. Como o valor esperado da média amostral é igual à média populacional (10), ele também é igual à mediana populacional (10). A fonte é a propriedade da distribuição normal e o teorema da distribuição amostral da média.

A questão explora dois conceitos que, combinados, resolvem o item: a distribuição amostral da média e a simetria da distribuição normal.

1. Valor esperado da média amostral

Para uma amostra aleatória simples $Y_1, Y_2, \dots, Y_n$ retirada de uma população com média $\mu$ , a média amostral $\bar{Y} = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n Y_i$ é um estimador não viesado de $\mu$ . Ou seja:

E(\bar{Y}) = \mu

Isso vale para qualquer distribuição populacional (desde que a esperança exista), independentemente do tamanho da amostra. No caso, $\mu = 10$ , logo $E(\bar{Y}) = 10$ .

2. Mediana na distribuição normal

A distribuição normal é simétrica em torno da média. Em qualquer distribuição simétrica e unimodal, a média, a mediana e a moda coincidem. Portanto, se a população é normal com média 10, a mediana populacional também é 10.

3. Conclusão

Como $E(\bar{Y}) = 10$ e a mediana populacional é 10, a afirmação é verdadeira.

Proposição	Valor Lógico	Justificativa
p: "O valor esperado da média amostral é igual à média populacional"	V	$E(\bar{Y}) = \mu = 10$ (estimador não viesado)
q: "A mediana populacional é igual à média populacional"	V	Distribuição normal é simétrica e unimodal
r: "O valor esperado da média amostral é igual à mediana populacional"	V	$p \land q \Rightarrow r$ (ambas as premissas verdadeiras)

NÃO CAIA NESSA!

A banca pode tentar confundir o candidato fazendo-o pensar que a média amostral é igual à mediana amostral (o que não é garantido em uma amostra específica). Mas a questão fala em valor esperado da média amostral (que é um parâmetro da distribuição amostral) e mediana populacional (parâmetro da população). A simetria da normal garante a igualdade entre os parâmetros populacionais, e a não viés da média amostral garante que seu valor esperado é a média populacional. Fique atento: a mediana amostral não é um estimador não viesado da mediana populacional em geral, mas isso não é o que está sendo cobrado aqui.

Gabarito: letra C (CERTO).

Questão de Estatística — Cálculo de Probabilidades — CESPE / CEBRASPE 2023

Distribuição amostral da média e a mediana na distribuição normal