Estatística · CESPE / CEBRASPE · 2023 | Questão sqc-ce161100

Distribuição Binomial: média, variância e probabilidade pontual

Gabarito: letra E (ERRADO). Para uma variável binomial com média 80 e desvio padrão 4, a probabilidade de $X=0$ é extremamente pequena — da ordem de $10^{-18}$ — e não 0,20. O item está errado porque, ao resolver o sistema $np=80$ e $\sqrt{np(1-p)}=4$ , obtemos $n=100$ e $p=0,8$ , e então $P(X=0)=(0,2)^{100}$ , um valor desprezível.

A distribuição binomial modela o número de sucessos em $n$ tentativas independentes, cada uma com probabilidade de sucesso $p$ . Seus parâmetros são $n$ (número de tentativas) e $p$ (probabilidade de sucesso em cada tentativa). A média é $E[X]=np$ e a variância é $Var(X)=np(1-p)$ . O desvio padrão é a raiz quadrada da variância.

No enunciado, temos:

Média: $np = 80$
Desvio padrão: $\sqrt{np(1-p)} = 4$ , logo $np(1-p) = 16$

Substituindo $np=80$ na equação da variância:

$80(1-p) = 16 \Rightarrow 1-p = \frac{16}{80} = 0,2 \Rightarrow p = 0,8$

E então $n = \frac{80}{0,8} = 100$ .

A função de probabilidade binomial é:

P(X=k) = \binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k}

Para $k=0$ :

P(X=0) = \binom{100}{0} (0,8)^0 (0,2)^{100} = 1 \times 1 \times (0,2)^{100} = (0,2)^{100}

Esse número é da ordem de $1,27 \times 10^{-70}$ , ou seja, praticamente zero — e certamente não é 0,20. Portanto, a afirmação "P(X = 0) = 0,20" é falsa.

Parâmetro	Valor calculado	Fórmula
Média (np)	80	E[X] = np
Variância (np(1-p))	16	Var(X) = np(1-p) = (desvio padrão)² = 4²
Probabilidade de sucesso (p)	0,8	80(1-p) = 16 → 1-p = 0,2 → p = 0,8
Número de tentativas (n)	100	n = 80 / 0,8 = 100
P(X = 0)	(0,2)^100 ≈ 1,27 × 10⁻⁷⁰	P(X=0) = C(100,0) · (0,8)⁰ · (0,2)¹⁰⁰
Afirmação do item (P(X=0) = 0,20)	FALSA	0,20 ≠ (0,2)^100

NÃO CAIA NESSA!

A banca tenta confundir o candidato ao apresentar um valor de probabilidade que parece razoável (0,20), mas que não corresponde ao cálculo real. O erro comum é esquecer de usar a fórmula da variância para encontrar $p$ e $n$ , ou confundir $P(X=0)$ com $P(X \geq 1)$ (que seria $1 - (0,2)^{100}$ , aproximadamente 1). Lembre-se: com $n=100$ e $p=0,8$ , a probabilidade de nenhum sucesso é $(0,2)^{100}$ , um valor minúsculo.

PEGA ESSA DICA!

Para questões de distribuição binomial, sempre monte o sistema com média e variância/desvio padrão para descobrir $n$ e $p$ . Depois, aplique a fórmula da probabilidade pontual. Treine com valores que resultem em $n$ inteiro — a banca costuma escolher números que facilitam o cálculo.

Gabarito: letra E (ERRADO).

Questão de Estatística — Cálculo de Probabilidades — CESPE / CEBRASPE 2023

Distribuição Binomial: média, variância e probabilidade pontual