Questão de Estatística — Principais distribuições de probabilidade — CESPE / CEBRASPE 2023

Distribuição binomial: média, desvio padrão e suporte

Gabarito: letra C (CERTO). Para uma variável binomial, a média é $E(X) = np$ e a variância é $Var(X) = np(1-p)$. Com média 80 e desvio padrão 4, temos $np = 80$ e $np(1-p) = 16$, o que leva a $p = 0{}8$ e $n = 100$. Como o suporte da binomial é $\{0, 1, \ldots, n\}$, o valor máximo possível de $X$ é 100, portanto $P(X \geq 115) = 0$.

A distribuição binomial modela o número de sucessos em $n$ tentativas independentes, cada uma com probabilidade de sucesso $p$. Seus parâmetros são $n$ (número de tentativas) e $p$ (probabilidade de sucesso). A média é $np$ e a variância é $np(1-p)$. O desvio padrão é a raiz quadrada da variância.

A partir dos dados do enunciado, montamos o sistema:

Substituindo a primeira equação na segunda:

Voltando à primeira equação:

O suporte da binomial é o conjunto de valores inteiros de 0 até $n$. Como $n = 100$, a variável $X$ nunca assume valores maiores que 100. Logo, a probabilidade de $X$ ser maior ou igual a 115 é exatamente zero.

A pegadinha aqui é tentar usar a aproximação normal da binomial sem verificar o suporte. Com $n = 100$ e $p = 0{}8$, a aproximação normal teria média 80 e desvio padrão 4, e $P(X \geq 115)$ seria um valor pequeno, mas não zero. No entanto, a binomial é uma distribuição discreta com suporte limitado, e o valor 115 está fora desse suporte.

✅ CERTO. A afirmação está correta: como $n = 100$, o valor 115 está fora do suporte da distribuição binomial, logo $P(X \geq 115) = 0$.

Gabarito: letra C