Matemática · CESPE / CEBRASPE · 2023 | Questão sqc-ce161687

Média Aritmética e o Novo Estudante

Gabarito: Errado (E). A idade média atual da turma é 10,1 anos, e não 12. Para que a média não se altere com a entrada de um novo estudante, a idade dele deve ser exatamente igual à média atual, ou seja, 10,1 anos — que é inferior a 12 anos, não superior. A afirmação do item está incorreta.

A média aritmética é a medida de tendência central mais utilizada. Para um conjunto de dados, ela é calculada pela soma de todos os valores dividida pela quantidade de valores. No caso de dados agrupados por valor (como as idades com suas respectivas quantidades de estudantes), a média é a média ponderada, em que o peso de cada idade é a sua frequência (quantidade de estudantes). A fórmula é:

\bar{x} = \frac{\sum (x_i \times f_i)}{\sum f_i}

onde $x_i$ é o valor (idade) e $f_i$ é a frequência (quantidade de estudantes).

Vamos calcular a média atual da turma:

Soma das idades: $5 \times 9 + 11 \times 10 + 3 \times 11 + 1 \times 12 = 45 + 110 + 33 + 12 = 200$
Total de estudantes: $5 + 11 + 3 + 1 = 20$
Média: $\bar{x} = \frac{200}{20} = 10,1$ anos

Agora, a propriedade fundamental: se adicionarmos um novo valor a um conjunto, a média só permanece inalterada se esse novo valor for exatamente igual à média anterior. Isso porque a média é o ponto de equilíbrio da soma: para que a soma total continue proporcional ao novo número de elementos, o valor adicionado deve ser igual à média.

Se o novo estudante tiver idade superior a 12 anos (por exemplo, 13 anos), a nova soma seria $200 + 13 = 213$ , e a nova média seria $\frac{213}{21} \approx 10,14$ anos — maior que 10,1. Portanto, a média aumentaria, contrariando a condição do enunciado.

A idade que mantém a média inalterada é 10,1 anos, que é menor que 12. Logo, a afirmação "a idade desse novo estudante deverá ser superior a 12 anos" é falsa.

Caso	Idade do novo estudante (x)	Média após adição (21 alunos)	Resultado
1	x = 10,1 (igual à média atual)	(200 + 10,1) / 21 = 10,1	Consistente (média inalterada)
2	x > 12 (ex.: 13)	(200 + 13) / 21 ≈ 10,14	Inviável (média aumenta)
3	x < 10,1 (ex.: 9)	(200 + 9) / 21 ≈ 9,95	Inviável (média diminui)

NÃO CAIA NESSA!

A banca tenta induzir o candidato a pensar que, como a maior idade é 12, para "puxar" a média para cima seria preciso alguém com mais de 12 anos. Mas a condição é que a média não se altere — e isso só ocorre se o novo valor for igual à média atual (10,1), não superior a 12. O raciocínio correto é comparar a idade do novo estudante com a média, não com a idade máxima.

Gabarito: Errado (E).

Questão de Matemática — Aritmética e Problemas — CESPE / CEBRASPE 2023

Média Aritmética e o Novo Estudante