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Questão de Matemática — Álgebra — CESPE / CEBRASPE 2023

MatemáticaÁlgebra
Código
ce161716
Banca
CESPE / CEBRASPE
Órgão
SME do Recife - PE
Ano
2023
Nível
Superior
Cargo
Professor II - Disciplina: Matemática
Acerca dos números reais e das suas propriedades, julgue o item subsequente.O número 1 / √6 - √5 é igual ao número √6 + √5.
  1. CCerto
  2. EErrado
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GabaritoC — Certo

Comentário gerado por IA. É um apoio ao estudo, ancorado em fontes, mas pode conter imprecisões — confira sempre na fonte oficial (lei, súmula, edital e gabarito da banca). Encontrou um erro? Use “Reportar”.

Racionalização de denominadores: igualdade entre expressões irracionais

Gabarito: letra C (CERTO). A expressão 16−5\frac{1}{\sqrt{6} - \sqrt{5}} é igual a 6+5\sqrt{6} + \sqrt{5}, pois, ao racionalizar o denominador multiplicando numerador e denominador pelo conjugado 6+5\sqrt{6} + \sqrt{5}, obtém-se exatamente 6+5\sqrt{6} + \sqrt{5}. Essa é uma aplicação direta do produto notável (a+b)(a−b)=a2−b2(a+b)(a-b) = a^2 - b^2.

A questão cobra a técnica de racionalização de denominadores, muito comum em álgebra elementar. Quando o denominador é uma diferença de raízes quadradas, multiplicamos numerador e denominador pelo conjugado (a soma das mesmas raízes). Isso elimina a raiz do denominador porque o produto da soma pela diferença resulta na diferença dos quadrados — e o quadrado de uma raiz quadrada é o próprio radicando.

Vamos ao cálculo passo a passo:

16−5×6+56+5=6+5(6)2−(5)2=6+56−5=6+51=6+5\frac{1}{\sqrt{6} - \sqrt{5}} \times \frac{\sqrt{6} + \sqrt{5}}{\sqrt{6} + \sqrt{5}} = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{5}}{(\sqrt{6})^2 - (\sqrt{5})^2} = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{5}}{6 - 5} = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{5}}{1} = \sqrt{6} + \sqrt{5}

Como o denominador se torna 1, a expressão original é idêntica a 6+5\sqrt{6} + \sqrt{5}. Portanto, a afirmação do enunciado é verdadeira.

Expressão

Racionalização

Resultado

16−5\frac{1}{\sqrt{6} - \sqrt{5}}

Multiplicar por 6+56+5\frac{\sqrt{6} + \sqrt{5}}{\sqrt{6} + \sqrt{5}}

6+5(6)2−(5)2\frac{\sqrt{6} + \sqrt{5}}{(\sqrt{6})^2 - (\sqrt{5})^2}

Denominador após produto notável

6−56 - 5

11

Expressão final

6+51\frac{\sqrt{6} + \sqrt{5}}{1}

6+5\sqrt{6} + \sqrt{5}

Igualdade verificada

16−5=6+5\frac{1}{\sqrt{6} - \sqrt{5}} = \sqrt{6} + \sqrt{5}

Verdadeira (C)

NÃO CAIA NESSA!

A banca não troca sinais nem números — ela apenas apresenta uma igualdade que parece "mágica" e testa se o candidato conhece a técnica de racionalização. O erro comum seria tentar simplificar 16−5\frac{1}{\sqrt{6} - \sqrt{5}} como se fosse 16−15\frac{1}{\sqrt{6}} - \frac{1}{\sqrt{5}} (o que não é válido) ou esquecer de multiplicar pelo conjugado. Aqui, a "pegadinha" é justamente a ausência de pegadinha: a igualdade é verdadeira e exige apenas o domínio do produto notável.

PEGA ESSA DICA!

Sempre que aparecer uma fração com denominador contendo soma ou diferença de raízes, lembre-se: multiplique pelo conjugado. O conjugado de a+ba + b é a−ba - b e vice-versa. O resultado no denominador será sempre a diferença dos quadrados, eliminando as raízes. Treine com vários exemplos: 13−1\frac{1}{\sqrt{3} - 1}, 25+2\frac{2}{\sqrt{5} + \sqrt{2}}, etc. Esse é um dos tópicos mais cobrados em álgebra de concursos.

Gabarito: letra C (CERTO).

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