Questão de Matemática — Álgebra — CESPE / CEBRASPE 2023

Números inteiros e divisibilidade

Gabarito: letra E (ERRADO). A afirmação de que $\frac{n^3+1}{n-1}$ só será inteiro para $n=0$ ou $n=2$ é falsa, pois existem outros valores inteiros de $n$ que tornam a expressão inteira — por exemplo, $n=-1$ e $n=3$ (verifique: para $n=-1$, $\frac{(-1)^3+1}{-1-1} = \frac{0}{-2} = 0$, que é inteiro; para $n=3$, $\frac{27+1}{2} = 14$, também inteiro). A questão testa a análise de divisibilidade de uma expressão algébrica racional.

Para resolver, o caminho mais eficiente é reescrever o numerador usando a fatoração da soma de cubos: $n^3+1 = (n+1)(n^2 - n + 1)$. Assim, a expressão fica:

Para que o resultado seja inteiro, o denominador $n-1$ deve dividir o numerador. Em vez de tentar todos os inteiros, podemos usar a divisão polinomial: dividindo $n^3+1$ por $n-1$, obtemos quociente $n^2+n+1$ e resto $2$. Ou seja:

Portanto, $\frac{n^3+1}{n-1} = n^2+n+1 + \frac{2}{n-1}$. Para que o resultado seja inteiro, $\frac{2}{n-1}$ deve ser inteiro, o que ocorre quando $n-1$ divide 2. Os divisores inteiros de 2 são $\pm 1$ e $\pm 2$. Assim:

• $n-1 = 1 \Rightarrow n = 2$

• $n-1 = -1 \Rightarrow n = 0$

• $n-1 = 2 \Rightarrow n = 3$

• $n-1 = -2 \Rightarrow n = -1$

Logo, há quatro valores inteiros de $n$ que satisfazem a condição: $n \in \{-1, 0, 2, 3\}$. A afirmação do enunciado, que restringe a apenas $n=0$ ou $n=2$, está incorreta.

Item — ❌ ERRADO

A afirmação é falsa porque existem outros valores inteiros de $n$ além de 0 e 2 que tornam a expressão inteira. Conforme demonstrado, $n=-1$ e $n=3$ também satisfazem a condição. Portanto, o item está errado.

Gabarito: letra E (ERRADO).