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Questão de Matemática — Álgebra Linear — CESPE / CEBRASPE 2023

MatemáticaÁlgebra Linear
Código
ce162725
Banca
CESPE / CEBRASPE
Órgão
TBG
Ano
2023
Nível
Superior
Cargo
Engenheiro Júnior – Ênfase: Projetos e Obras, Elétrica
Julgue o item que se segue, relativo à transformação linear T: R³ → R³ dada por T(x, y, z) = (x + y, x – z, z – y).A matriz da transformação linear T em relação à base canônica tem determinante igual a 0.
  1. CCerto
  2. EErrado
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GabaritoE — Errado

Comentário gerado por IA. É um apoio ao estudo, ancorado em fontes, mas pode conter imprecisões — confira sempre na fonte oficial (lei, súmula, edital e gabarito da banca). Encontrou um erro? Use “Reportar”.

Transformação linear e determinante

Gabarito: letra E (ERRADO). A matriz da transformação linear T(x,y,z)=(x+y, x−z, z−y)T(x,y,z)=(x+y,\,x-z,\,z-y) em relação à base canônica é A=[11010−10−11]A = \begin{bmatrix} 1 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & -1 \\ 0 & -1 & 1 \end{bmatrix}, cujo determinante é det⁡(A)=1⋅(0⋅1−(−1)⋅(−1))−1⋅(1⋅1−(−1)⋅0)+0=−1−1=−2≠0\det(A) = 1 \cdot (0\cdot 1 - (-1)\cdot(-1)) - 1 \cdot (1\cdot 1 - (-1)\cdot 0) + 0 = -1 - 1 = -2 \neq 0. Portanto, a afirmação de que o determinante é igual a 0 é falsa.

A questão cobra dois conceitos de Álgebra Linear: (1) como obter a matriz de uma transformação linear na base canônica e (2) o cálculo do determinante dessa matriz. Vamos revisar cada um.

Matriz da transformação na base canônica — Para uma transformação linear T:R3→R3T: \mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}^3, a matriz associada na base canônica tem como colunas as imagens dos vetores da base canônica e1=(1,0,0)e_1=(1,0,0), e2=(0,1,0)e_2=(0,1,0) e e3=(0,0,1)e_3=(0,0,1). Calculando:

  • T(1,0,0)=(1+0, 1−0, 0−0)=(1,1,0)T(1,0,0) = (1+0,\,1-0,\,0-0) = (1,1,0) → primeira coluna: [110]\begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix}

  • T(0,1,0)=(0+1, 0−0, 0−1)=(1,0,−1)T(0,1,0) = (0+1,\,0-0,\,0-1) = (1,0,-1) → segunda coluna: [10−1]\begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ -1 \end{bmatrix}

  • T(0,0,1)=(0+0, 0−1, 1−0)=(0,−1,1)T(0,0,1) = (0+0,\,0-1,\,1-0) = (0,-1,1) → terceira coluna: [0−11]\begin{bmatrix} 0 \\ -1 \\ 1 \end{bmatrix}

Assim, a matriz é:

A=[11010−10−11]A = \begin{bmatrix} 1 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & -1 \\ 0 & -1 & 1 \end{bmatrix}

Cálculo do determinante — Podemos usar a Regra de Sarrus ou o Teorema de Laplace. Vamos aplicar Sarrus:

det⁡(A)=(1⋅0⋅1+1⋅(−1)⋅0+0⋅1⋅(−1))−(0⋅0⋅0+(−1)⋅(−1)⋅1+1⋅1⋅1)\det(A) = (1\cdot 0\cdot 1 + 1\cdot(-1)\cdot 0 + 0\cdot 1\cdot(-1)) - (0\cdot 0\cdot 0 + (-1)\cdot(-1)\cdot 1 + 1\cdot 1\cdot 1)
=(0+0+0)−(0+1+1)=−2= (0 + 0 + 0) - (0 + 1 + 1) = -2

Como −2≠0-2 \neq 0, a matriz é invertível (não singular). O determinante ser diferente de zero também indica que a transformação é um isomorfismo (bijeção) e que os vetores coluna são linearmente independentes.

Por que a banca afirma que é 0? — Provavelmente para testar se o candidato sabe calcular o determinante corretamente. Uma pegadinha comum é confundir a matriz da transformação com a matriz dos coeficientes de um sistema, ou errar o sinal ao aplicar Sarrus. Outra possibilidade é o candidato achar que, por envolver subtrações, o determinante seria nulo — o que não é verdade.

  1. 1Imagens dos vetores da base
  2. 2Colunas = T(e1), T(e2), T(e3)
  3. 3Montar a matriz A
  4. 4Calcular det(A) = -2
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Item — ❌ ERRADO ⟵ GABARITO

A afirmação "A matriz da transformação linear T em relação à base canônica tem determinante igual a 0" é falsa. Como calculado, det⁡(A)=−2≠0\det(A) = -2 \neq 0. Portanto, o item está ERRADO.

PEGA ESSA DICA!

Para transformações lineares, monte a matriz colocando as imagens dos vetores da base canônica como colunas. Depois, calcule o determinante com atenção aos sinais — erros de sinal são a causa mais comum de respostas erradas nesse tipo de questão. Se o determinante der zero, a transformação não é invertível; se der diferente de zero, é invertível.

Gabarito: letra E (ERRADO).

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