GabaritoC — Certo
Gabarito: ✅ CERTO. O núcleo da transformação linear T(x, y, z) = (x + y, x – z, z – y) é o subespaço nulo V = {(0, 0, 0)}, pois o sistema T(x, y, z) = (0, 0, 0) admite apenas a solução trivial. Isso ocorre porque as equações x + y = 0, x – z = 0 e z – y = 0 implicam, respectivamente, y = –x, z = x e, substituindo na terceira, x – (–x) = 2x = 0, logo x = 0, y = 0 e z = 0.
O núcleo de uma transformação linear T: ℝ³ → ℝ³ é o conjunto de todos os vetores do domínio que são levados ao vetor nulo do contradomínio. Em outras palavras, é o conjunto solução da equação T(v) = 0. Para encontrá-lo, basta igualar cada componente da imagem a zero e resolver o sistema linear resultante. Neste caso, temos o sistema:
x + y = 0
x – z = 0
z – y = 0
Da primeira equação, y = –x. Da segunda, z = x. Substituindo na terceira, x – (–x) = 2x = 0, o que implica x = 0. Portanto, y = 0 e z = 0. A única solução é o vetor nulo (0, 0, 0). Assim, o núcleo é o subespaço nulo, e a afirmação está correta.
A afirmação de que o núcleo é igual ao subespaço nulo V = {(0, 0, 0)} está correta. O núcleo de T é o conjunto de todos os vetores da forma (x, y, z) tais que T(x, y, z) = (0, 0, 0). Resolvendo o sistema, obtemos y = –x e z = x, e a terceira equação se torna x – (–x) = 2x = 0, logo x = 0, y = 0 e z = 0. Portanto, o núcleo é o subespaço nulo, e a afirmação está correta.
A banca pode tentar confundir o candidato ao sugerir que o núcleo é uma reta ou um plano, mas aqui a única solução é o vetor nulo. Fique atento: para verificar se o núcleo é trivial, basta resolver o sistema homogêneo e verificar se a única solução é a trivial.
Para encontrar o núcleo de uma transformação linear, iguale cada componente da imagem a zero e resolva o sistema linear. Se o sistema for homogêneo e a única solução for a trivial, o núcleo é o subespaço nulo. Isso ocorre quando a matriz da transformação tem posto completo (determinante não nulo).
Gabarito: ✅ CERTO.
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