Questão de Matemática — Derivada — CESPE / CEBRASPE 2023

Equações Diferenciais Lineares Homogêneas de Segunda Ordem

Gabarito: ✅ CERTO. Se $y_1(t)=\cos(kt)$ e $y_2(t)=\operatorname{sen}(kt)$ são soluções da equação diferencial linear homogênea de segunda ordem $Ay''(t)+By'(t)+Cy(t)=0$, com $A\neq 0$, então o conjunto solução é exatamente o espaço vetorial gerado por essas duas funções, ou seja, toda solução é uma combinação linear $c_1\cos(kt)+c_2\operatorname{sen}(kt)$. Isso decorre do Teorema de Existência e Unicidade para equações diferenciais ordinárias lineares, que garante que o espaço de soluções tem dimensão 2, e do fato de que $\cos(kt)$ e $\operatorname{sen}(kt)$ são linearmente independentes (seu Wronskiano é $k\neq 0$).

Para entender por que a afirmação é verdadeira, precisamos revisar a teoria das equações diferenciais lineares homogêneas de segunda ordem. Uma equação da forma $Ay''+By'+Cy=0$ é linear e homogênea. O conjunto de todas as suas soluções forma um espaço vetorial de dimensão 2. Isso significa que, se encontrarmos duas soluções linearmente independentes, qualquer outra solução será uma combinação linear delas.

No caso, as funções dadas são $y_1(t)=\cos(kt)$ e $y_2(t)=\operatorname{sen}(kt)$. Para que elas sejam soluções, ao substituir na equação, obtemos condições sobre os coeficientes $A$, $B$ e $C$. Vamos verificar:

• $y_1'(t) = -k\operatorname{sen}(kt)$, $y_1''(t) = -k^2\cos(kt)$.

• $y_2'(t) = k\cos(kt)$, $y_2''(t) = -k^2\operatorname{sen}(kt)$.

Substituindo $y_1$ na equação:

Para que isso seja identicamente nulo para todo $t$, precisamos que $C - Ak^2 = 0$ e $Bk = 0$. Como $k\neq 0$, temos $B=0$ e $C = Ak^2$.

Substituindo $y_2$:

Novamente, $C - Ak^2 = 0$ e $Bk = 0$, o que confirma $B=0$ e $C=Ak^2$.

Portanto, a equação diferencial se reduz a $Ay'' + Ak^2 y = 0$, ou seja, $y'' + k^2 y = 0$ (dividindo por $A\neq 0$). Essa é a equação clássica do oscilador harmônico, cuja solução geral é exatamente $y(t) = c_1\cos(kt) + c_2\operatorname{sen}(kt)$.

A independência linear de $\cos(kt)$ e $\operatorname{sen}(kt)$ é garantida pelo Wronskiano:

Como o Wronskiano é não nulo (pois $k\neq 0$), as duas soluções são linearmente independentes. Pelo teorema da existência e unicidade, o espaço de soluções tem dimensão 2, e essas duas funções formam uma base. Logo, qualquer solução é combinação linear delas.

Alternativa C — ✅ Correto ⟵ GABARITO

A afirmação está correta. Como demonstrado, as funções $y_1$ e $y_2$ são linearmente independentes (Wronskiano $k\neq 0$) e, portanto, formam uma base para o espaço de soluções da equação diferencial linear homogênea de segunda ordem. Pelo teorema de existência e unicidade, toda solução é uma combinação linear dessas duas.

Alternativa E — ❌ Incorreto

A alternativa E afirma que o item é errado, mas isso não procede. A condição de que $y_1$ e $y_2$ sejam soluções já garante que a equação é da forma $y''+k^2y=0$, cuja solução geral é exatamente a combinação linear de $\cos(kt)$ e $\operatorname{sen}(kt)$. Não há nenhuma outra solução que fuja dessa forma.

Gabarito: ✅ CERTO.