Questão de Matemática — Derivada — CESPE / CEBRASPE 2023

Equações Diferenciais Ordinárias Lineares de Segunda Ordem

Gabarito: ❌ ERRADO. A solução do problema de valor inicial não é limitada para $t > 0$ quando $A$ e $B$ possuem sinais contrários, pois isso implica a existência de uma raiz positiva na equação característica, gerando um termo exponencial crescente $e^{rt}$ com $r > 0$.

Para a equação diferencial $Ay''(t) + By'(t) + Cy(t) = 0$, a equação característica associada é $Ar^2 + Br + C = 0$. É dado que $Y_1(t) = 1$ é uma solução, o que implica que $C = 0$ (substituindo $y=1, y'=0, y''=0$ na equação original). Assim, a equação reduz-se a $Ar^2 + Br = 0$, cujas raízes são $r_1 = 0$ e $r_2 = -B/A$.

A solução geral da equação é $y(t) = c_1 + c_2 e^{(-B/A)t}$. Aplicando as condições iniciais do problema de valor inicial (PVI) fornecido na figura:

1. $y(0) = c_1 + c_2 = 0 \implies c_1 = -c_2$

2. $y'(t) = c_2(-B/A)e^{(-B/A)t} \implies y'(0) = c_2(-B/A) = 1 \implies c_2 = -A/B$

Portanto, a solução é $y(t) = (A/B) - (A/B)e^{(-B/A)t}$. Se $A$ e $B$ têm sinais contrários, a razão $-B/A$ é positiva. Seja $k = -B/A > 0$. A solução torna-se $y(t) = (A/B)(1 - e^{kt})$. Como $k > 0$, o termo $e^{kt}$ tende ao infinito quando $t \to \infty$, tornando a solução ilimitada.

Gabarito: ❌ ERRADO.