Questão de Matemática — Geometria Analítica — CESPE / CEBRASPE 2023

Direção de maior inclinação: gradiente de uma função de duas variáveis

Gabarito: ERRADO. A direção de maior inclinação da colina no ponto P(1, 1) é dada pelo vetor gradiente de H, calculado nesse ponto. O gradiente é $\nabla H = \left(\frac{\partial H}{\partial x}, \frac{\partial H}{\partial y}\right) = (-4x, -6y)$, e em P(1, 1) temos $\nabla H(1, 1) = (-4, -6)$, que é um múltiplo escalar positivo de $(-2, -3)$, e não de $(-3, -2)$ como afirma o enunciado. Portanto, a direção indicada está incorreta.

A questão envolve o conceito de gradiente de uma função escalar de duas variáveis, que é um vetor que aponta na direção de maior crescimento da função. Para uma função $H(x, y)$, o gradiente é definido como o vetor cujas componentes são as derivadas parciais de H em relação a x e y. No contexto do problema, a "direção de maior inclinação da colina" é exatamente a direção do gradiente, pois é a direção em que a altura H aumenta mais rapidamente.

Para calcular o gradiente, derivamos H em relação a cada variável, tratando a outra como constante:

• $\frac{\partial H}{\partial x} = -4x$

• $\frac{\partial H}{\partial y} = -6y$

No ponto P(1, 1), substituímos os valores:

• $\frac{\partial H}{\partial x}(1, 1) = -4 \cdot 1 = -4$

• $\frac{\partial H}{\partial y}(1, 1) = -6 \cdot 1 = -6$

Portanto, o gradiente é $\nabla H(1, 1) = (-4, -6)$. Esse vetor é paralelo ao vetor $(-2, -3)$, pois $(-4, -6) = 2 \cdot (-2, -3)$. A direção de um vetor é determinada pela sua direção e sentido, e dois vetores paralelos com o mesmo sentido (múltiplo escalar positivo) indicam a mesma direção. O vetor $(-3, -2)$ não é paralelo a $(-4, -6)$, pois não existe um escalar $k$ tal que $(-4, -6) = k \cdot (-3, -2)$; isso exigiria $k = 4/3$ e $k = 3$ simultaneamente, o que é impossível.

A pegadinha da banca está em trocar as componentes do gradiente: em vez de $(-4, -6)$, que é proporcional a $(-2, -3)$, o enunciado apresenta $(-3, -2)$, que é um vetor com as componentes invertidas e não corresponde à direção de maior inclinação. O candidato que calcula o gradiente corretamente percebe a divergência.

Alternativa E — ❌ Errado ⟵ GABARITO

A afirmação está errada porque a direção de maior inclinação é dada pelo gradiente $\nabla H(1, 1) = (-4, -6)$, que é paralelo a $(-2, -3)$, e não a $(-3, -2)$. O vetor $(-3, -2)$ não é múltiplo escalar de $(-4, -6)$, portanto não aponta na direção de maior crescimento da função. A banca inverteu as componentes do vetor correto, criando um distrator que parece plausível, mas não corresponde ao cálculo.

Gabarito: ERRADO.