Questão de Matemática — Derivada — CESPE / CEBRASPE 2023

Cálculo: Vetor Gradiente e Direção de Subida

✅ CERTO. Para verificar se o vetor velocidade $w = c'(0)$ indica uma subida na colina, devemos calcular o produto escalar entre o vetor gradiente da função altura $H(x, y)$ no ponto $P(0)$ e o vetor velocidade $w$. Se o produto escalar for positivo, o caminho aponta para uma direção de subida.

Análise do Problema

1. Caminho $c(t)$ e Ponto $P(0)$:

   Dado $c(t) = (1 - 2t, 1 + \text{sen}(t))$, em $t = 0$ temos:

   $x(0) = 1 - 2(0) = 1$

   $y(0) = 1 + \text{sen}(0) = 1$

   Portanto, $P(0) = (1, 1)$.

1. Vetor Velocidade $w$ em $t = 0$:

   Derivando as componentes de $c(t)$:

   $x'(t) = -2$

   $y'(t) = \cos(t)$

   Em $t = 0$: $x'(0) = -2$ e $y'(0) = \cos(0) = 1$. Logo, $w = (-2, 1)$.

1. Gradiente de $H(x, y)$ em $P(1, 1)$:

   $H(x, y) = -2x^2 - 3y^2 + 100$

   $\nabla H(x, y) = (\frac{\partial H}{\partial x}, \frac{\partial H}{\partial y}) = (-4x, -6y)$

   Em $P(1, 1)$: $\nabla H(1, 1) = (-4(1), -6(1)) = (-4, -6)$.

1. Produto Escalar $\nabla H \cdot w$:

   $\nabla H(1, 1) \cdot w = (-4, -6) \cdot (-2, 1) = (-4 \times -2) + (-6 \times 1) = 8 - 6 = 2$.

Como o resultado do produto escalar é $2 > 0$, o vetor velocidade $w$ possui uma componente na direção do gradiente, o que confirma que o caminho indica uma subida na colina no ponto dado.

Gabarito: letra C