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Questão de Matemática — Derivada — CESPE / CEBRASPE 2023

MatemáticaDerivada
Código
ce162731
Banca
CESPE / CEBRASPE
Órgão
TBG
Ano
2023
Nível
Superior
Cargo
Engenheiro Júnior – Ênfase: Projetos e Obras, Elétrica
Supondo que, em t segundos após um furo ter sido feito acidentalmente em um tanque de combustível, o volume instantâneo, em m³ , de combustível vazado por unidade de tempo, em segundos, seja dado por L(t) = −t ³ + 2t ² + 4t + 10, para o intervalo de tempo 0 ≤ t ≤ 3 s, julgue o item a seguir.L(t) foi máximo em t = 2/3 s
  1. CCerto
  2. EErrado
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GabaritoE — Errado

Comentário gerado por IA. É um apoio ao estudo, ancorado em fontes, mas pode conter imprecisões — confira sempre na fonte oficial (lei, súmula, edital e gabarito da banca). Encontrou um erro? Use “Reportar”.

Máximos e mínimos de uma função: aplicação da derivada

Gabarito: letra E (ERRADO). O ponto de máximo de L(t)=−t3+2t2+4t+10L(t) = -t^3 + 2t^2 + 4t + 10 no intervalo 0≤t≤30 \le t \le 3 não é t=2/3t = 2/3 s. Derivando e igualando a zero, obtemos os candidatos a extremo t=2t = 2 e t=−2/3t = -2/3; como t=−2/3t = -2/3 está fora do intervalo, o único ponto crítico relevante é t=2t = 2, que é o ponto de máximo local (e global) da função nesse domínio. A banca trocou o ponto de máximo pelo ponto de inflexão ou por um valor que não é extremo — armadilha clássica de confundir derivada primeira com derivada segunda.

A questão cobra a aplicação do cálculo diferencial para determinar o valor máximo de uma função em um intervalo fechado. O procedimento padrão é:

  1. Derivar a função para encontrar os pontos críticos (onde a derivada se anula ou não existe).

  2. Analisar os pontos críticos dentro do intervalo e também os extremos do intervalo (teorema de Weierstrass: o máximo e o mínimo de uma função contínua em um intervalo fechado ocorrem em um ponto crítico ou nas extremidades).

  3. Classificar cada ponto crítico (máximo, mínimo ou ponto de inflexão) usando o teste da derivada segunda ou a análise do sinal da derivada primeira.

Vamos aplicar isso à função dada:

L(t)=−t3+2t2+4t+10L(t) = -t^3 + 2t^2 + 4t + 10

Derivada primeira:

L′(t)=−3t2+4t+4L'(t) = -3t^2 + 4t + 4

Igualando a zero:

−3t2+4t+4=0⇒3t2−4t−4=0-3t^2 + 4t + 4 = 0 \Rightarrow 3t^2 - 4t - 4 = 0

Resolvendo a equação do segundo grau:

t=4±16+486=4±86t = \frac{4 \pm \sqrt{16 + 48}}{6} = \frac{4 \pm 8}{6}

Portanto:

t1=4+86=2,t2=4−86=−23t_1 = \frac{4 + 8}{6} = 2, \quad t_2 = \frac{4 - 8}{6} = -\frac{2}{3}

Como o intervalo é 0≤t≤30 \le t \le 3, o ponto t=−2/3t = -2/3 está fora do domínio e deve ser descartado. Resta t=2t = 2 como único ponto crítico dentro do intervalo.

Classificação:

Derivada segunda:

L′′(t)=−6t+4L''(t) = -6t + 4

Avaliando em t=2t = 2:

L′′(2)=−12+4=−8<0L''(2) = -12 + 4 = -8 < 0

Como a derivada segunda é negativa, t=2t = 2 é um ponto de máximo local. Como é o único ponto crítico no intervalo e a função é contínua, esse é também o máximo global no intervalo [0,3][0, 3].

Verificação nas extremidades:

  • L(0)=10L(0) = 10

  • L(2)=−8+8+8+10=18L(2) = -8 + 8 + 8 + 10 = 18

  • L(3)=−27+18+12+10=13L(3) = -27 + 18 + 12 + 10 = 13

O maior valor é L(2)=18L(2) = 18, confirmando que o máximo ocorre em t=2t = 2 s, e não em t=2/3t = 2/3 s.

Alternativa E — ❌ Errada ⟵ GABARITO

A afirmação de que L(t)L(t) foi máximo em t=2/3t = 2/3 s está errada. O ponto de máximo é t=2t = 2 s, como demonstrado. O valor t=2/3t = 2/3 não é ponto crítico da função (não anula a derivada primeira) e, portanto, não pode ser ponto de máximo. A banca provavelmente tentou confundir o candidato com um valor que aparece em algum cálculo intermediário (por exemplo, ao resolver a equação da derivada ou ao analisar a concavidade), mas que não corresponde ao extremo procurado.

NÃO CAIA NESSA!

A banca explora a confusão entre ponto crítico (onde a derivada primeira se anula) e ponto de inflexão (onde a derivada segunda se anula). O candidato apressado pode derivar a função, igualar a derivada segunda a zero e encontrar t=2/3t = 2/3 (pois L′′(t)=−6t+4=0⇒t=2/3L''(t) = -6t + 4 = 0 \Rightarrow t = 2/3), mas isso é o ponto de inflexão, não o máximo. Fique atento: para máximo/mínimo, use a derivada primeira; a derivada segunda serve apenas para classificar.

PEGA ESSA DICA!

Em questões de máximo/mínimo, siga sempre o roteiro: (1) derive a função; (2) iguale a derivada a zero e resolva; (3) descarte raízes fora do intervalo; (4) classifique com a derivada segunda ou análise de sinal; (5) compare com os valores nas extremidades do intervalo. Esse método resolve a maioria das questões de otimização em concursos.

Gabarito: letra E (ERRADO).

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