Questão de Matemática — Funções — CESPE / CEBRASPE 2023

Cálculo de volume por integração

Gabarito: ✅ CERTO. O volume total vazado é a integral definida da taxa $L(t)$ no intervalo $0 \le t \le 3$: $\int_0^3 (-t^3 + 2t^2 + 4t + 10)\,dt = 48\,\text{m}^3$, que é inferior a $50\,\text{m}^3$. A questão exige reconhecer que a função dada é a taxa instantânea de vazamento e que o volume acumulado é obtido pela integração dessa taxa no tempo.

A função $L(t)$ representa o volume vazado por unidade de tempo (em $\text{m}^3/\text{s}$), ou seja, é a derivada do volume total em relação ao tempo. Para encontrar o volume total vazado entre $t=0$ e $t=3$, é necessário integrar $L(t)$ nesse intervalo. A integral de um polinômio é calculada termo a termo, aumentando o expoente em 1 e dividindo pelo novo expoente.

Vamos calcular passo a passo:

1. Integral indefinida de $L(t)$:

   $\int L(t)\,dt = \int (-t^3 + 2t^2 + 4t + 10)\,dt = -\frac{t^4}{4} + \frac{2t^3}{3} + 2t^2 + 10t + C$

1. Integral definida de $0$ a $3$:

   $V = \left[-\frac{t^4}{4} + \frac{2t^3}{3} + 2t^2 + 10t\right]_0^3$

1. Avaliando em $t=3$:

   $-\frac{3^4}{4} + \frac{2 \cdot 3^3}{3} + 2 \cdot 3^2 + 10 \cdot 3 = -\frac{81}{4} + \frac{54}{3} + 18 + 30 = -20{,}25 + 18 + 18 + 30 = 45{,}75$

1. Avaliando em $t=0$: todos os termos se anulam, resultando em $0$.

1. Volume total: $V = 45{,}75 - 0 = 45{,}75\,\text{m}^3$.

Como $45{,}75 < 50$, a afirmação está correta.

Gabarito: ✅ CERTO.