Questão de Matemática — Estatística — CESPE / CEBRASPE 2023

Probabilidade: Variáveis Aleatórias Contínuas

Gabarito: ✅ CERTO. A função de distribuição acumulada (FDA) apresentada, $F_X(x) = \frac{1}{1 + e^{-(x-5)/2}}$, é uma função contínua em todo o seu domínio, o que caracteriza uma variável aleatória contínua. Para qualquer variável aleatória contínua, a probabilidade de assumir um valor pontual exato é sempre nula, ou seja, $P(X = a) = 0$ para qualquer valor real $a$.

Análise da questão

A função dada é a função logística, que é uma função contínua e derivável em todo o conjunto dos números reais. Em teoria das probabilidades, uma variável aleatória é classificada como contínua se a sua função de distribuição acumulada $F_X(x)$ for uma função contínua.

Para variáveis aleatórias contínuas, a probabilidade de que a variável assuma um valor específico $x_0$ é calculada pela diferença entre os valores da FDA em pontos infinitesimais, o que resulta em:

Como a função $F_X(x)$ é contínua, o limite à esquerda é igual ao valor da função no ponto, logo $F_X(x_0) - F_X(x_0) = 0$. Portanto, a probabilidade de $X$ ser exatamente igual a 3 é zero, confirmando a assertiva.

Gabarito: ✅ CERTO.