GabaritoC — Certo
Gabarito: letra C — CERTO. Se X e Y seguem distribuições normais padrão com correlação linear igual a −1, então Y é uma função linear decrescente perfeita de X, e os eventos {X > 0} e {Y ≤ 0} são equivalentes (ocorrem exatamente nas mesmas realizações). Como P(X > 0) = 0,5 pela simetria da normal padrão, a soma P(X > 0) + P(Y ≤ 0) = 0,5 + 0,5 = 1.
A correlação linear mede a força e a direção da relação linear entre duas variáveis. Quando ρ = −1, temos correlação negativa perfeita: todos os pontos estão exatamente sobre uma reta com inclinação negativa. Isso significa que Y = a + bX com b < 0, ou seja, Y é uma transformação linear decrescente de X. Nesse caso, os eventos {X > 0} e {Y ≤ 0} são idênticos: se X > 0, então Y = a + bX < 0 (para o caso padrão com a = 0, b = −1); se X ≤ 0, então Y ≥ 0. Portanto, P(X > 0) = P(Y ≤ 0).
Como X segue distribuição normal padrão, sua função densidade é simétrica em torno de zero, logo P(X > 0) = 0,5. Pela equivalência dos eventos, P(Y ≤ 0) também é 0,5. A soma é 1, confirmando a afirmação.
A pegadinha da banca está em tentar confundir o candidato com a correlação: como ρ = −1, alguns podem pensar que os eventos são complementares (um é o oposto do outro), mas na verdade eles são equivalentes — quando X é positivo, Y é negativo, e quando X é não positivo, Y é não negativo. A relação é de igualdade, não de complementaridade.
Caso | Atribuição (X, Y) | Eventos {X > 0} e {Y ≤ 0} | P(X > 0) + P(Y ≤ 0) |
|---|---|---|---|
1 | X > 0, Y = −X < 0 | Ambos verdadeiros (equivalentes) | 0,5 + 0,5 = 1 |
2 | X ≤ 0, Y = −X ≥ 0 | Ambos falsos (equivalentes) | 0,5 + 0,5 = 1 |
A afirmação está correta. Com correlação −1, Y é uma função linear decrescente perfeita de X. Para distribuições normais padrão, a relação é Y = −X (ou Y = a − X, com a = 0 no caso padrão). Assim, {X > 0} = {Y < 0} e, como a distribuição é contínua, P(Y < 0) = P(Y ≤ 0). Pela simetria da normal padrão, P(X > 0) = 0,5 e P(Y ≤ 0) = 0,5, logo a soma é 1.
A afirmação de que a soma é diferente de 1 está errada. O erro do candidato seria pensar que a correlação −1 torna os eventos mutuamente exclusivos ou complementares, mas na verdade eles são equivalentes. A soma das probabilidades de eventos equivalentes, cada uma valendo 0,5, é exatamente 1.
A banca explora a confusão entre eventos equivalentes e eventos complementares. Com ρ = −1, os eventos {X > 0} e {Y ≤ 0} são o mesmo evento, não eventos opostos. Se fossem complementares, a soma seria 1 também, mas por um motivo diferente — aqui a soma é 1 porque cada probabilidade é 0,5 e os eventos coincidem. Cuidado para não inverter a lógica: a correlação negativa perfeita faz Y diminuir quando X aumenta, então X positivo implica Y negativo.
Para resolver questões de correlação perfeita, lembre-se: ρ = 1 → Y = a + bX com b > 0 (eventos equivalentes na mesma direção); ρ = −1 → Y = a + bX com b < 0 (eventos equivalentes em direções opostas). Em ambos os casos, a probabilidade de um evento determina a do outro. Na normal padrão, P(X > 0) = 0,5 sempre, pela simetria.
Gabarito: letra C — CERTO.
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