Questão de Estatística — Principais distribuições de probabilidade — CESPE / CEBRASPE 2023
Estatística›Principais distribuições de probabilidade
Código
ce163459
Banca
CESPE / CEBRASPE
Órgão
TC-DF
Ano
2023
Nível
Superior
Cargo
Analista Administrativo de Controle Externo
Considerando que X e Y sigam distribuições normais padrão e que a correlação linear entre ambas seja igual a −1, julgue o seguinte item.Se W = 5X + 2, então W segue distribuição normal com média igual a 2 e variância igual a 25.
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EErrado
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GabaritoC — Certo
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Distribuição normal: transformação linear de variável aleatória
Gabarito: letra C (CERTO). Se X segue distribuição normal padrão, ou seja, X ~ N(0, 1), então a transformação linear W = 5X + 2 também segue distribuição normal, com média E(W) = 5·E(X) + 2 = 5·0 + 2 = 2 e variância Var(W) = 5²·Var(X) = 25·1 = 25. A informação sobre a correlação entre X e Y é irrelevante para este item, pois W depende apenas de X.
A distribuição normal possui uma propriedade fundamental: qualquer transformação linear de uma variável aleatória normal também é normal. Isso decorre do fato de que a função densidade da normal é preservada sob transformações afins. Se X ~ N(μ, σ²), então para constantes a e b, a variável aX + b tem distribuição N(aμ + b, a²σ²). No caso, X é normal padrão, com μ = 0 e σ² = 1. Aplicando a transformação W = 5X + 2, temos:
Média: E(W) = 5·E(X) + 2 = 5·0 + 2 = 2.
Variância: Var(W) = 5²·Var(X) = 25·1 = 25.
Portanto, W ~ N(2, 25), exatamente como afirma o item. A constante aditiva (2) desloca a média, mas não afeta a variância; o coeficiente multiplicativo (5) é elevado ao quadrado ao calcular a variância. Essa é a essência da transformação linear de uma normal.
A menção à correlação entre X e Y igual a −1 é um distrator. Como W é definido apenas em função de X, a relação entre X e Y não influencia em nada a distribuição de W. A correlação seria relevante se W envolvesse Y, por exemplo, se W = X + Y. Nesse caso, a variância da soma dependeria da covariância entre X e Y. Mas aqui, W = 5X + 2, então a correlação é irrelevante.
NÃO CAIA NESSA!
A banca insere a informação sobre a correlação entre X e Y para tentar confundir o candidato, fazendo-o pensar que ela afeta o cálculo de W. Como W depende apenas de X, a correlação é um dado inútil. Fique atento: quando a variável transformada é função de uma única variável, a correlação com outra variável não entra na conta. A pegadinha clássica é o candidato tentar usar a correlação para "misturar" X e Y, quando na verdade W = 5X + 2 não envolve Y.
Transformação
Média E(W)
Variância Var(W)
Resultado
W = 5X + 2, com X ~ N(0, 1)
5·0 + 2 = 2
5²·1 = 25
W ~ N(2, 25) — Certo
Erro comum: esquecer o quadrado
2
5 (em vez de 25)
Errado
Erro comum: usar a correlação −1
2
25 (inalterada)
Errado
Alternativa C — ✅ CERTO ⟵ GABARITO
A afirmativa está correta. Como demonstrado, W segue distribuição normal com média 2 e variância 25. A transformação linear preserva a normalidade, e os parâmetros são calculados diretamente: E(W) = 5·0 + 2 = 2 e Var(W) = 5²·1 = 25. A correlação entre X e Y não tem qualquer efeito sobre W.
Alternativa E — ❌ ERRADO
A afirmativa está errada porque contradiz a propriedade da transformação linear da normal. O candidato que marca esta opção provavelmente cometeu um dos seguintes erros: (1) esqueceu de elevar o coeficiente 5 ao quadrado ao calcular a variância, obtendo 5 em vez de 25; (2) confundiu a média, achando que seria 5·2 = 10 ou algo similar; ou (3) deixou-se levar pela correlação −1, pensando que ela alteraria a variância. Nenhum desses raciocínios se sustenta: a média é 2 e a variância é 25.