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Questão de Estatística — Principais distribuições de probabilidade — CESPE / CEBRASPE 2023

EstatísticaPrincipais distribuições de probabilidade
Código
ce163460
Banca
CESPE / CEBRASPE
Órgão
TC-DF
Ano
2023
Nível
Superior
Cargo
Analista Administrativo de Controle Externo
Considerando que X e Y sigam distribuições normais padrão e que a correlação linear entre ambas seja igual a −1, julgue o seguinte item.A soma X + Y segue distribuição normal com média zero e variância 2.
  1. CCerto
  2. EErrado
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GabaritoE — Errado

Comentário gerado por IA. É um apoio ao estudo, ancorado em fontes, mas pode conter imprecisões — confira sempre na fonte oficial (lei, súmula, edital e gabarito da banca). Encontrou um erro? Use “Reportar”.

Soma de variáveis normais com correlação −1

Gabarito: ERRADO (letra E). A afirmação de que X + Y segue distribuição normal com média zero e variância 2 está incorreta porque, embora a soma de variáveis normais seja sempre normal e a média seja de fato zero, a variância não é 2 — ela é zero, dado que a correlação entre X e Y é −1, o que torna a combinação linear perfeitamente determinística (X + Y = 0 com probabilidade 1).

A questão explora a convolução de distribuições normais, mas com uma pegadinha crucial: a propriedade de que a soma de normais independentes é normal com variância igual à soma das variâncias só vale para variáveis independentes. Aqui, X e Y são normais padrão (média 0, variância 1), mas não são independentes — a correlação é −1, o que indica uma relação linear perfeita e negativa. Nesse caso, a variância da soma é dada por:

Var(X+Y)=Var(X)+Var(Y)+2Cov(X,Y)\text{Var}(X+Y) = \text{Var}(X) + \text{Var}(Y) + 2\text{Cov}(X,Y)

Como a correlação é ρ=−1\rho = -1, temos Cov(X,Y)=ρ⋅σX⋅σY=−1⋅1⋅1=−1\text{Cov}(X,Y) = \rho \cdot \sigma_X \cdot \sigma_Y = -1 \cdot 1 \cdot 1 = -1. Substituindo:

Var(X+Y)=1+1+2(−1)=0\text{Var}(X+Y) = 1 + 1 + 2(-1) = 0

Portanto, X + Y é uma variável aleatória degenerada (constante igual a 0), e não uma normal com variância 2. A média é E[X+Y]=E[X]+E[Y]=0+0=0E[X+Y] = E[X] + E[Y] = 0 + 0 = 0, mas a variância é zero, não 2.

A banca tenta induzir o candidato a aplicar a regra da soma de variâncias para variáveis independentes, ignorando a correlação. É uma armadilha clássica: a propriedade de que a soma de normais independentes é normal com variância somada não se aplica quando há dependência linear perfeita.

Independentes (ρ = 0)
Correlação −1
Variância
0
0
Média
2
0 (degenerada)
LEVEL · soulevel.com.br

Critério

X + Y com correlação −1 (caso da questão)

X + Y com X, Y independentes (caso hipotético)

Média E[X + Y]

0

0

Covariância Cov(X, Y)

−1

0

Variância Var(X + Y)

1 + 1 + 2(−1) = 0

1 + 1 + 0 = 2

Distribuição resultante

Degenerada (constante 0)

Normal padrão com variância 2

Fórmula aplicável

Var(X+Y) = Var(X) + Var(Y) + 2Cov(X,Y)

Var(X+Y) = Var(X) + Var(Y) (caso particular da fórmula geral)

Alternativa C — ❌ Incorreta

A alternativa afirma que X + Y segue distribuição normal com média zero e variância 2. O erro está na variância: ela seria 2 apenas se X e Y fossem independentes (ou se a correlação fosse zero). Com correlação −1, a covariância é −1, e a variância da soma é zero. A média está correta (0), mas a variância não.

Alternativa E — ✅ Correta ⟵ GABARITO

A alternativa correta é a que nega a afirmação. Como demonstrado, a variância de X + Y é zero, não 2. Portanto, o item está errado.

NÃO CAIA NESSA!

A banca explora a confusão entre variáveis independentes e correlacionadas. O candidato que memoriza a regra "soma de normais independentes tem variância igual à soma das variâncias" aplica-a sem verificar a independência. Aqui, a correlação −1 anula a variância da soma, tornando-a degenerada. Fique atento: sempre verifique se as variáveis são independentes antes de somar variâncias!

PEGA ESSA DICA!

Para somas de variáveis normais, use sempre a fórmula geral da variância: Var(aX+bY)=a2Var(X)+b2Var(Y)+2abCov(X,Y)\text{Var}(aX + bY) = a^2\text{Var}(X) + b^2\text{Var}(Y) + 2ab\text{Cov}(X,Y). Se a correlação for ±1, a combinação linear é degenerada (variância zero) quando os coeficientes são iguais em módulo e a correlação é −1. Memorize os casos extremos: correlação +1 → soma tem variância (σX+σY)2(\sigma_X + \sigma_Y)^2; correlação −1 → soma tem variância (σX−σY)2(\sigma_X - \sigma_Y)^2.

Gabarito: letra E (ERRADO).

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