Questão de Estatística — Cálculo de Probabilidades — CESPE / CEBRASPE 2023

Estimação pontual na distribuição binomial

❌ ERRADO. A estimativa pontual do parâmetro n (número de ensaios) não pode ser inferior a 5, pois o maior valor observado na amostra é 5 e, numa distribuição binomial, o número de sucessos nunca pode exceder o número de ensaios. Logo, qualquer estimativa de n deve ser pelo menos igual ao máximo valor amostral.

A distribuição binomial modela o número de sucessos em n ensaios independentes de Bernoulli, cada um com probabilidade de sucesso p. O suporte da variável é $\{0, 1, 2, \dots, n\}$: ou seja, os valores possíveis de X vão de 0 até n. Se a amostra contém o valor 5, isso significa que, em algum ensaio, foram observados 5 sucessos — o que só é possível se n ≥ 5. Portanto, qualquer estimador razoável de n (como o método dos momentos ou a máxima verossimilhança) produzirá um valor maior ou igual a 5, nunca inferior.

A pegadinha da banca está em tentar estimar n a partir da média amostral. A média da binomial é $E(X) = np$; com a média amostral $\bar{x} = \frac{1+0+5+2+4}{5} = \frac{12}{5} = 2{,}4$, poderíamos escrever $\hat{n}\hat{p} = 2{,}4$. Como $\hat{p} \le 1$, teríamos $\hat{n} \ge 2{,}4$, o que não garante $\hat{n} \ge 5$. Mas essa é uma abordagem ingênua: o método dos momentos, ao resolver as equações $\bar{x} = np$ e $s^2 = np(1-p)$, leva a $\hat{n} = \frac{\bar{x}^2}{\bar{x} - s^2}$, que, com os dados, resulta em um valor superior a 5 (cerca de 6,4). Além disso, a própria lógica do suporte já impede n < 5.

Item — ❌ ERRADO

A afirmação "A estimativa pontual do parâmetro n pode ser inferior a 5" é falsa. Como o valor máximo da amostra é 5, e a variável binomial só assume valores até n, temos necessariamente n ≥ 5. Qualquer estimador consistente (método dos momentos, máxima verossimilhança) respeitará essa restrição. Portanto, a estimativa de n não pode ser inferior a 5.

Gabarito: letra E (ERRADO).