Questão de Estatística — Amostragem — CESPE / CEBRASPE 2023

Variância da distribuição binomial

❌ ERRADO. A variância populacional de uma binomial é $np(1-p)$, e o valor máximo que ela pode atingir é $n/4$ (quando $p = 0{,}5$). Como $n/4 < n/2$ para qualquer $n > 0$, a variância nunca pode ser superior a $n/2$. Portanto, a afirmação está incorreta.

A distribuição binomial modela o número de sucessos em $n$ ensaios de Bernoulli independentes, cada um com probabilidade de sucesso $p$. Seus dois parâmetros são:

• Média: $\mu = np$

• Variância: $\sigma^2 = np(1-p)$

A variância é uma função quadrática de $p$, que atinge seu máximo quando $p = 1/2$. Nesse ponto, $\sigma^2 = n \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{n}{4}$. Para qualquer outro valor de $p$, a variância é menor. Assim, o maior valor possível da variância é $n/4$, que é metade de $n/2$. A afirmação de que a variância pode ser superior a $n/2$ é, portanto, impossível.

A pegadinha da banca está em confundir o valor máximo da variância ($n/4$) com um valor maior ($n/2$). O candidato que não lembra que $p(1-p) \leq 1/4$ pode aceitar a afirmação como verdadeira, mas a matemática da binomial não permite.

Gabarito: letra E (ERRADO).