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Questão de Estatística — Inferência estatística — CESPE / CEBRASPE 2023

EstatísticaInferência estatística
Código
ce163464
Banca
CESPE / CEBRASPE
Órgão
TC-DF
Ano
2023
Nível
Superior
Cargo
Analista Administrativo de Controle Externo
Um pesquisador deseja avaliar a significância estatística da diferença entre as médias amostrais produzidas por dois conjuntos de dados, amostras 1 e 2, conforme mostra o quadro a seguir. Esses conjuntos de dados foram obtidos por amostragem aleatória de populações normais, sendo que a primeira amostra foi retirada da população N(μ1,σ2), e a segunda foi extraída da N(μ2,σ2). As duas amostras são independentes e possuem tamanhos distintos: 21 e 31, respectivamente. O quadro também apresenta duas estimativas diferentes para a variância populacional σ2: 5 (amostra 1) e 10 (amostra 2). Nessas condições, o pesquisador deseja testar a hipótese nula H0: μ1 = μ2 contra a hipótese alternativa H1: μ1 ≠ μ2 mediante aplicação do teste (paramétrico) t de Student para comparação de duas médias.


Imagem da questão
Considerando a situação hipotética apresentada, julgue o próximo item.A estimativa da variância da diferença entre as médias amostrais é igual a 5/21 + 10/31
  1. CCerto
  2. EErrado
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GabaritoE — Errado

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Estimativa da Variância da Diferença de Médias (Teste t para duas amostras com variâncias iguais)

❌ ERRADO. A estimativa correta da variância da diferença entre as médias amostrais, sob a suposição de variâncias populacionais iguais, utiliza a variância combinada (pooled), e não a simples soma das variâncias amostrais divididas pelos respectivos tamanhos amostrais. Portanto, a expressão 5/21 + 10/31 não é a estimativa adequada.

No teste t de Student para duas amostras independentes com variâncias iguais (homocedasticidade), a variância da diferença das médias é dada por:

Var(xˉ1−xˉ2)=σ2(1n1+1n2)\text{Var}(\bar{x}_1 - \bar{x}_2) = \sigma^2 \left( \frac{1}{n_1} + \frac{1}{n_2} \right)

Como σ2\sigma^2 é desconhecida, utiliza-se uma estimativa combinada (pooled) a partir das variâncias amostrais:

sp2=(n1−1)s12+(n2−1)s22n1+n2−2s_p^2 = \frac{(n_1-1)s_1^2 + (n_2-1)s_2^2}{n_1 + n_2 - 2}

A estimativa da variância da diferença é então sp2(1n1+1n2)s_p^2 \left( \frac{1}{n_1} + \frac{1}{n_2} \right), e não s12n1+s22n2\frac{s_1^2}{n_1} + \frac{s_2^2}{n_2}.

A expressão s12n1+s22n2\frac{s_1^2}{n_1} + \frac{s_2^2}{n_2} seria apropriada apenas se as variâncias populacionais fossem diferentes (teste t de Welch), mas o enunciado afirma que ambas as populações têm a mesma variância σ2\sigma^2 e que o teste paramétrico é o t de Student (que assume homocedasticidade).

  1. 1Variância combinada (pooled)s²p = [(n1-1)s²1 + (n2-1)s²2] / (n1+n2-2)
  2. 2Variância da diferençaVar(x̄1 - x̄2) = s²p × (1/n1 + 1/n2)
  3. 3Expressão do item (ERRADA)s²1/n1 + s²2/n2 (Welch, não Student)
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NÃO CAIA NESSA!

A banca explora a confusão entre o caso de variâncias iguais (que exige pooling) e o caso de variâncias desiguais (em que se usa a soma das variâncias amostrais divididas por n). Memorize: com variâncias iguais, pooled; com variâncias desiguais, Welch (soma direta).

❌ ERRADO.

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