Estatística · CESPE / CEBRASPE · 2023 | Questão sqc-ce163500

Amostragem aleatória simples sem reposição

❌ ERRADO. O item afirma que há $d = 1000^{100}$ amostras possíveis e que a probabilidade de selecionar um grupo particular de 100 pessoas é $1000^{-100}$ . Isso está incorreto: como a amostragem é sem reposição, o número de amostras possíveis é dado pela combinação $\binom{1000}{100}$ , e a probabilidade de cada amostra específica é o inverso desse número, ou seja, $\frac{1}{\binom{1000}{100}}$ — não $1000^{-100}$ .

A questão explora a diferença fundamental entre amostragem com reposição e sem reposição. No sorteio aleatório sem reposição, cada pessoa só pode ser selecionada uma vez, e a ordem de seleção não importa para formar o grupo final. Portanto, o número de grupos distintos de 100 pessoas que podem ser formados a partir de 1000 é a combinação de 1000 elementos tomados 100 a 100, denotada por $\binom{1000}{100}$ . Esse número é muito menor que $1000^{100}$ , que seria o número de sequências ordenadas de 100 elementos com reposição (ou seja, permitindo repetição e considerando a ordem).

A probabilidade de selecionar um grupo particular qualquer é, por definição de amostragem aleatória simples, a mesma para todos os grupos e igual a $\frac{1}{\binom{1000}{100}}$ . O valor $1000^{-100}$ corresponderia à probabilidade de selecionar uma sequência ordenada específica de 100 elementos com reposição, o que não é o caso descrito.

1Sem reposição + ordem irrelevante
2Combinação C(1000,100)
3Probabilidade = 1/C(1000,100)

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Critério	Sem reposição (caso da questão)	Com reposição (o que o item sugere)
Nº de amostras possíveis	(\binom{1000}{100})	(1000^{100})
Probabilidade de cada amostra	$(\frac{1}{\binom{1000}{100}})$	(1000^{-100})
Ordem importa?	Não (grupo)	Sim (sequência)
Repetição de elementos?	Não	Sim

Item — ❌ Errado

O erro está em dois pontos interligados:

Número de amostras possíveis: O item usa $1000^{100}$ , que é o número de sequências ordenadas com reposição (cada uma das 100 posições pode ser preenchida por qualquer uma das 1000 pessoas). Como a amostragem é sem reposição e a ordem não importa, o correto é $\binom{1000}{100} = \frac{1000!}{100! \cdot 900!}$ .

Probabilidade de seleção: Se o número de amostras possíveis é $\binom{1000}{100}$ , a probabilidade de cada uma delas é $\frac{1}{\binom{1000}{100}}$ , e não $1000^{-100}$ . O valor $1000^{-100}$ seria a probabilidade de uma sequência ordenada específica com reposição, o que não se aplica aqui.

NÃO CAIA NESSA!

A banca troca o cenário sem reposição (combinação) pelo cenário com reposição (arranjo com repetição). O candidato que não percebe a palavra "sem reposição" no enunciado aceita $1000^{100}$ como número de amostras, quando o correto é $\binom{1000}{100}$ . Fique atento: "sem reposição" + "grupo" (ordem irrelevante) = combinação.

PEGA ESSA DICA!

Para não errar, pergunte-se: a ordem importa? Há reposição? Se a resposta for "não" para ambas, use combinação $\binom{N}{n}$ . Se a ordem importar, use arranjo $N!/(N-n)!$ ; se houver reposição, use $N^n$ . A probabilidade de uma amostra específica é sempre o inverso do número total de amostras possíveis.

Gabarito: letra E (Errado).

Questão de Estatística — Amostragem — CESPE / CEBRASPE 2023

Amostragem aleatória simples sem reposição

Item — ❌ Errado