Questão de Estatística — Cálculo de Probabilidades — CESPE / CEBRASPE 2023

Independência de eventos e probabilidade da interseção

Gabarito: letra E (ERRADO). Dois eventos são independentes se, e somente se, a probabilidade da interseção é igual ao produto das probabilidades individuais: $P(E_1 \cap E_2) = P(E_1) \times P(E_2)$. No enunciado, $P(E_1 \cap E_2) = 0$, mas $P(E_1) \times P(E_2) = 0,32 \times 0,15 = 0,048 \neq 0$. Como a igualdade não se verifica, os eventos não são independentes — são mutuamente exclusivos (disjuntos), o que é um conceito diferente.

A banca explora aqui uma confusão clássica: eventos mutuamente exclusivos (interseção vazia, $P(E_1 \cap E_2) = 0$) não são independentes — na verdade, são os eventos mais dependentes possíveis, pois a ocorrência de um impede a ocorrência do outro. A independência exige que a ocorrência de um evento não altere a probabilidade do outro, o que só acontece quando a interseção é igual ao produto das probabilidades.

A definição formal de independência é: $P(E_1 \cap E_2) = P(E_1) \cdot P(E_2)$. Equivalentemente, $P(E_1 | E_2) = P(E_1)$ e $P(E_2 | E_1) = P(E_2)$ — o conhecimento de que um ocorreu não muda a probabilidade do outro. No caso de eventos mutuamente exclusivos com probabilidades positivas, $P(E_1 | E_2) = 0 \neq P(E_1)$, o que demonstra a dependência total.

Alternativa C — ❌ Incorreta

Afirma que $E_1$ e $E_2$ são independentes. O erro está em confundir interseção nula com independência. Para serem independentes, seria necessário que $P(E_1 \cap E_2) = P(E_1) \times P(E_2) = 0,32 \times 0,15 = 0,048$. Como o enunciado fornece $P(E_1 \cap E_2) = 0$, a condição de independência não é satisfeita. Eventos com interseção vazia e probabilidades positivas são mutuamente exclusivos, e a exclusividade mútua implica dependência máxima: se um ocorre, o outro certamente não ocorre.

Gabarito: letra E (ERRADO).