Questão de Estatística — Cálculo de Probabilidades — CESPE / CEBRASPE 2023

Probabilidade condicional e eventos mutuamente exclusivos

Gabarito: letra C (CERTO). Como P(E₁ ∩ E₂) = 0, os eventos são mutuamente exclusivos, e ambas as probabilidades condicionais P(E₁|E₂) e P(E₂|E₁) são iguais a 0, pois o numerador da definição de probabilidade condicional é a interseção, que é nula. Portanto, a igualdade é verdadeira.

A probabilidade condicional mede a chance de um evento ocorrer dado que outro já ocorreu. A definição formal é:

Definição de probabilidade condicional:

$P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}$, para $P(B) > 0$.

No caso, temos $P(E_1 \cap E_2) = 0$, o que significa que os eventos são mutuamente exclusivos (não podem ocorrer simultaneamente). Substituindo na fórmula:

• $P(E_1|E_2) = \frac{P(E_1 \cap E_2)}{P(E_2)} = \frac{0}{0,15} = 0$

• $P(E_2|E_1) = \frac{P(E_1 \cap E_2)}{P(E_1)} = \frac{0}{0,32} = 0$

Logo, $P(E_1|E_2) = P(E_2|E_1) = 0$, e a afirmação está correta.

É importante não confundir mutuamente exclusivos com independentes. Eventos mutuamente exclusivos têm interseção vazia (probabilidade 0), enquanto eventos independentes satisfazem $P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B)$. Se dois eventos são mutuamente exclusivos e ambos têm probabilidade positiva, eles não podem ser independentes, pois a interseção seria 0, mas o produto das probabilidades seria positivo.

A pegadinha aqui é que muitos candidatos podem pensar que, por serem mutuamente exclusivos, a probabilidade condicional seria indefinida ou diferente entre si. Mas, como a interseção é 0, ambas as condicionais são 0, independentemente das probabilidades individuais.

Alternativa C — ✅ CERTO ⟵ GABARITO

Como demonstrado, $P(E_1|E_2) = 0$ e $P(E_2|E_1) = 0$, portanto a igualdade é verdadeira. A condição $P(E_1 \cap E_2) = 0$ é suficiente para garantir que ambas as condicionais sejam nulas, pois o numerador é o mesmo (a interseção) e os denominadores são positivos (0,15 e 0,32).

Alternativa E — ❌ ERRADO

Esta alternativa afirma que a igualdade é falsa, o que contraria o cálculo acima. O erro do candidato que marca esta opção é achar que, por serem mutuamente exclusivos, as condicionais seriam diferentes ou que uma delas seria indefinida. Mas, como a interseção é 0, ambas são 0, e a igualdade se mantém.

Gabarito: letra C