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Questão de Economia — Microeconomia — CESPE / CEBRASPE 2023

EconomiaMicroeconomia
Código
ce164823
Banca
CESPE / CEBRASPE
Órgão
TJ-ES
Ano
2023
Nível
Superior
Cargo
Analista Judiciário - Especialidade: Economia
Considere uma economia com a função de produção do tipo Cobb-Douglas Y = K0,5·L0,5, em que Y é a produção, K é o estoque de capital e L é a quantidade de trabalho. Considere, ainda, que o preço do insumo trabalho seja o dobro do insumo capital, o qual é normalizado para o valor unitário, e que o orçamento da firma seja de 4 unidades monetárias. 
No longo-prazo, o custo total equivale a 2Y.
  1. CCerto
  2. EErrado
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GabaritoE — Errado

Comentário gerado por IA. É um apoio ao estudo, ancorado em fontes, mas pode conter imprecisões — confira sempre na fonte oficial (lei, súmula, edital e gabarito da banca). Encontrou um erro? Use “Reportar”.

Custos de Longo Prazo na Cobb-Douglas

Gabarito: Errado (E). A afirmação está incorreta. Dados preços dos fatores (r=1, w=2) e a função de produção Y = K^0,5 L^0,5, a condição de minimização de custo leva a K = 2L. Substituindo na função de produção, obtém-se a função custo total de longo prazo: CT = 2√2 Y ≈ 2,828Y, e não 2Y.

Análise da assertiva — ❌ ERRADO

A assertiva diz: "No longo-prazo, o custo total equivale a 2Y." Por que é falsa: Para verificar, é necessário derivar a função custo da firma no longo prazo, quando todos os insumos são variáveis. A firma minimiza C = wL + rK sujeito a Y = K^0,5 L^0,5, com w = 2 e r = 1.

Passo a passo da derivação:

  1. Condição de minimização (taxa marginal de substituição técnica igual à razão de preços):

    • PMgK=0,5K−0,5L0,5,PMgL=0,5K0,5L−0,5PMgK = 0,5 K^{-0,5} L^{0,5}, \quad PMgL = 0,5 K^{0,5} L^{-0,5}

    • TMST=PMgLPMgK=LKTMST = \frac{PMgL}{PMgK} = \frac{L}{K}

    • Igualdade: LK=wr=21=2\frac{L}{K} = \frac{w}{r} = \frac{2}{1} = 2 → L = 2K? Cuidado: a condição correta é TMST = w/r, então L/K = 2/1 = 2, logo L = 2K. Mas vejamos a derivação com Lagrange.

Na verdade, a condição de primeira ordem do Lagrange fornece: ∂L∂L=2−λ⋅0,5K0,5L−0,5=0\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial L} = 2 - \lambda \cdot 0,5 K^{0,5} L^{-0,5} = 0 ∂L∂K=1−λ⋅0,5K−0,5L0,5=0\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial K} = 1 - \lambda \cdot 0,5 K^{-0,5} L^{0,5} = 0 Dividindo as duas equações, obtém-se: 21=0,5K0,5L−0,50,5K−0,5L0,5\frac{2}{1} = \frac{0,5 K^{0,5} L^{-0,5}}{0,5 K^{-0,5} L^{0,5}} → 2 = KL\frac{K}{L} → K = 2L.

(A relação correta é K = 2L, não L = 2K. Portanto, cuidado com a inversão: a TMST é L/K, igual a w/r = 2, então L = 2K? Vamos recalcular: TMST = (dY/dL) / (dY/dK) = (0,5 K^0,5 L^-0,5) / (0,5 K^-0,5 L^0,5) = K/L. Então TMST = K/L. Igualando a w/r = 2/1 = 2, temos K/L = 2 → K = 2L. Correto.)

  1. Substituir na função de produção:

    • Y=K0,5L0,5=(2L)0,5L0,5=20,5L0,5L0,5=2L.Y = K^0,5 L^0,5 = (2L)^0,5 L^0,5 = 2^0,5 L^0,5 L^0,5 = \sqrt{2} L.

    • Logo, L = Y / 2\sqrt{2} e K = 2L = 2Y / 2\sqrt{2} = 2\sqrt{2} Y.

  1. Função custo total:

    • CT=wL+rK=2L+1K=2∗(Y/2)+(2Y)=2Y+2Y=22Y≈2,828Y.CT = wL + rK = 2L + 1K = 2*(Y/\sqrt{2}) + (\sqrt{2}Y) = \sqrt{2}Y + \sqrt{2}Y = 2\sqrt{2} Y ≈ 2,828Y.

O custo total de longo prazo é, portanto, 2√2 Y, que é maior que 2Y. A afirmação de que CT = 2Y é falsa.

NÃO CAIA NESSA!

A banca pode induzir o aluno a pensar que, como a função é homogênea de grau 1 (retornos constantes de escala), o custo médio é constante e igual ao custo marginal, e que o custo total seria linear em Y. Entretanto, o coeficiente angular depende dos preços dos fatores e da condição de minimização, não sendo um valor fixo e simples como 2. A condição K = 2L depende diretamente da relação de preços (w/r = 2).

Conclusão: A assertiva está incorreta. Portanto, a resposta é Errado (E).

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