Questão de Estatística — Conhecimentos de estatística — CESPE / CEBRASPE 2023

Intervalo de confiança para a média: a fórmula correta

Gabarito: ERRADO. A fórmula apresentada no enunciado — $\bar{x} \pm t_{\gamma/2(n-1)} Var(\bar{x})$ — está incorreta por dois motivos: (1) o erro padrão da média é $\sqrt{Var(\bar{x})}$, e não $Var(\bar{x})$; e (2) a notação do quantil $t_{\gamma/2(n-1)}$ é inadequada, pois o subscrito deve indicar os graus de liberdade ($n-1$) e o nível de confiança ($\gamma$), não uma fração envolvendo $\gamma$ e $n$. A forma correta do intervalo de confiança para a média, quando a variância populacional é desconhecida, é $\bar{x} \pm t_{\gamma/2, \, n-1} \cdot \frac{s}{\sqrt{n}}$.

O intervalo de confiança é uma ferramenta da inferência estatística que fornece uma faixa de valores plausíveis para um parâmetro populacional desconhecido (como a média $\mu$), com base em uma amostra. A fórmula geral para o intervalo de confiança da média depende de conhecermos ou não o desvio padrão populacional ($\sigma$). Quando $\sigma$ é desconhecido — que é o caso mais comum e o que se aplica à situação descrita, pois não temos informação sobre a variabilidade dos tempos de finalização dos processos — utilizamos a distribuição t de Student e o desvio padrão amostral ($s$).

A fórmula correta é:

Onde:

• $\bar{x}$ é a média amostral;

• $t_{\gamma/2, \, n-1}$ é o quantil da distribuição t de Student com $n-1$ graus de liberdade, tal que a área à sua direita é $\gamma/2$ (sendo $\gamma$ o nível de confiança);

• $s$ é o desvio padrão amostral;

• $n$ é o tamanho da amostra.

A expressão $\frac{s}{\sqrt{n}}$ é o erro padrão da média, que mede a variabilidade da média amostral. O intervalo é construído tomando a média amostral e somando/subtraindo um múltiplo desse erro padrão, onde o múltiplo é determinado pelo nível de confiança desejado.

A pegadinha da questão está em dois pontos:

1. Erro padrão vs. variância: A fórmula do enunciado usa $Var(\bar{x})$ diretamente, mas o correto é usar a raiz quadrada da variância da média, ou seja, o erro padrão $\sqrt{Var(\bar{x})} = \frac{s}{\sqrt{n}}$.

2. Notação do quantil: A notação $t_{\gamma/2(n-1)}$ é confusa e incorreta. O quantil da distribuição t é denotado por $t_{\alpha/2, \, gl}$, onde $\alpha = 1 - \gamma$ é o nível de significância e $gl$ são os graus de liberdade. No caso, $gl = n-1$.

Alternativa E — ❌ Errado ⟵ GABARITO

A afirmação está errada. O erro central é a utilização de $Var(\bar{x})$ em vez do erro padrão $\sqrt{Var(\bar{x})}$. A variância da média amostral é $Var(\bar{x}) = \frac{\sigma^2}{n}$ (ou $\frac{s^2}{n}$ quando estimada), mas o intervalo de confiança é construído com o desvio padrão da média, que é a raiz quadrada dessa variância. Além disso, a notação do quantil $t_{\gamma/2(n-1)}$ não é a forma correta de expressar o valor crítico da distribuição t; o correto seria $t_{\gamma/2, \, n-1}$.

A fórmula correta, como já mencionado, é $\bar{x} \pm t_{\gamma/2, \, n-1} \cdot \frac{s}{\sqrt{n}}$. Portanto, a fórmula apresentada no enunciado não é a correta para o cálculo do intervalo de confiança.

Gabarito: ERRADO.