Questão de Estatística — Cálculo de Probabilidades — CESPE / CEBRASPE 2023

Teorema Central do Limite e a soma de quadrados

Gabarito: CERTO. Para uma amostra suficientemente grande, a soma $S_n = \sum_{j=1}^{n} X_j^2$ segue, aproximadamente, uma distribuição normal, desde que cada $X_j^2$ tenha média e variância finitas. Isso é uma aplicação direta do Teorema Central do Limite (TCL), que estabelece que a soma de um grande número de variáveis aleatórias independentes e identicamente distribuídas (i.i.d.) tende a uma distribuição normal, independentemente da distribuição original.

O Teorema Central do Limite é um dos pilares da inferência estatística. Ele afirma que, para uma amostra aleatória simples de tamanho $n$ suficientemente grande, a soma (ou a média) de variáveis aleatórias independentes e identicamente distribuídas com média e variância finitas se aproxima de uma distribuição normal. No caso, as variáveis $X_j$ têm média 0 e variância 2. Portanto, as variáveis $X_j^2$ também terão média e variância finitas (desde que os momentos de quarta ordem de $X_j$ sejam finitos, o que é uma condição implícita para a aplicação do TCL). Assim, a soma $S_n$ será aproximadamente normal para $n$ grande.

A pegadinha aqui é que a distribuição original de $X_j$ é "qualquer", não necessariamente normal. Muitos candidatos podem pensar que, como a distribuição original não é normal, a soma também não será. No entanto, o TCL garante a normalidade assintótica da soma, independentemente da distribuição original, desde que as condições de independência e variância finita sejam satisfeitas.

A razão pela qual o TCL funciona é que, ao somar muitas variáveis aleatórias independentes, as "irregularidades" de cada distribuição individual se cancelam, e o resultado final tende a uma distribuição simétrica em forma de sino, que é a distribuição normal. É por isso que a normal é tão ubíqua em estatística.

Item — ✅ CERTO

A afirmação está correta. Pelo Teorema Central do Limite, a soma de um grande número de variáveis aleatórias independentes e identicamente distribuídas (com média e variância finitas) converge em distribuição para uma normal. Como $X_j$ tem média 0 e variância 2, as variáveis $X_j^2$ têm média e variância finitas (desde que os momentos de quarta ordem existam), e a soma $S_n$ será aproximadamente normal para $n$ suficientemente grande.

Gabarito: CERTO