Estatística · CESPE / CEBRASPE · 2023 | Questão sqc-ce165011

Lei fraca dos grandes números e convergência de $S_n$

Gabarito: ERRADO. A lei fraca dos grandes números (LFGN) se aplica à média aritmética de variáveis aleatórias i.i.d., ou seja, a $\bar{X}_n = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n X_i$ converge em probabilidade para a média populacional $E[X_i]$ . No entanto, o enunciado trata da soma dos quadrados $S_n = \sum_{i=1}^n X_i^2$ , e não da média. Para aplicar a LFGN corretamente, precisamos considerar a média dos quadrados, $\frac{S_n}{n}$ , que converge em probabilidade para $E[X_i^2] = \text{Var}(X_i) + (E[X_i])^2 = 2 + 0 = 2$ . Portanto, $\frac{S_n}{n} \xrightarrow{p} 2$ , e não $S_n$ diretamente. A afirmação de que $S_n$ converge para 2 está incorreta, pois $S_n$ cresce sem limite com $n$ .

A questão explora um erro conceitual comum: confundir a convergência da média com a convergência da soma. A LFGN é um dos teoremas limites mais importantes da probabilidade, e sua aplicação correta exige identificar a grandeza que está sendo somada e normalizada.

Caso	Grandeza analisada	Comportamento com (n)	Convergência em probabilidade	Conclusão
1	$S_n = \sum X_i^2$ (soma)	Cresce sem limite (≈ (2n))	Não converge para 2	Afirmação falsa
2	$\frac{S_n}{n}$ (média dos quadrados)	Estabiliza-se em 2	$(\frac{S_n}{n} \xrightarrow{p} 2)$	LFGN aplicada corretamente

Alternativa E — ✅ Correta (ERRADO) ⟵ GABARITO

A afirmativa do enunciado está errada. A lei fraca dos grandes números estabelece que a média amostral de variáveis aleatórias independentes e identicamente distribuídas (i.i.d.) converge em probabilidade para a média populacional. Formalmente, para uma sequência $X_1, X_2, \ldots$ i.i.d. com $E[X_i] = \mu$ , temos:

\frac{X_1 + X_2 + \cdots + X_n}{n} \xrightarrow{p} \mu

No caso da questão, temos $E[X_i] = 0$ e $\text{Var}(X_i) = 2$ . Para aplicar a LFGN à soma dos quadrados, definimos $Y_i = X_i^2$ . A média de $Y_i$ é:

E[Y_i] = E[X_i^2] = \text{Var}(X_i) + (E[X_i])^2 = 2 + 0^2 = 2

Pela LFGN, a média dos $Y_i$ converge em probabilidade para 2:

\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n X_i^2 = \frac{S_n}{n} \xrightarrow{p} 2

Isso significa que $S_n/n$ se aproxima de 2, mas $S_n$ em si diverge (cresce aproximadamente como $2n$ ). Portanto, a afirmação de que $S_n$ converge para 2 é falsa.

NÃO CAIA NESSA!

A banca tenta induzir o aluno a aplicar a LFGN diretamente à soma $S_n$ , esquecendo que o teorema fala da média $\bar{X}_n = S_n/n$ . O candidato apressado pode pensar: "a média dos $X_i$ é 0, então a soma dos quadrados converge para a variância 2" — mas isso é um salto inválido. A LFGN exige a normalização por $n$ ; sem ela, a soma cresce indefinidamente. Lembre-se: a lei dos grandes números é sobre médias, não sobre somas.

PEGA ESSA DICA!

Para resolver questões sobre convergência, sempre identifique o que está convergindo: é uma média ( $\bar{X}_n$ ), uma soma ( $S_n$ ), ou uma proporção? Se for uma soma, verifique se há normalização por $n$ . A LFGN e o Teorema Central do Limite (TCL) sempre envolvem médias (ou somas normalizadas). Uma dica prática: se a grandeza cresce com $n$ , ela não pode convergir para uma constante finita — a não ser que seja dividida por $n$ .

Gabarito: ERRADO

Questão de Estatística — Cálculo de Probabilidades — CESPE / CEBRASPE 2023

Lei fraca dos grandes números e convergência de SnS_n

Alternativa E — ✅ Correta (ERRADO) ⟵ GABARITO

Lei fraca dos grandes números e convergência de $S_n$