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Questão de Estatística — Principais distribuições de probabilidade — CESPE / CEBRASPE 2023

EstatísticaPrincipais distribuições de probabilidade
Código
ce165022
Banca
CESPE / CEBRASPE
Órgão
TJ-ES
Ano
2023
Nível
Superior
Cargo
Analista Judiciário - Especialidade: Estatística

Diariamente, T mandados judiciais são distribuídos para certo oficial de justiça. Sabe-se que T = X + Y + Z  , em que X representa o número diário de mandados de intimação, Y, a quantidade diária de mandados de citação e Z, o total diário de mandados de condução coercitiva. As variáveis aleatórias X, Y e Z são independentes e seguem a distribuição de Poisson com médias 5, 3 e 1, respectivamente.


Com respeito a essa situação hipotética e considerando que e denote a constante de Néper (número exponencial), julgue o próximo item. 

O desvio padrão da diferença T − X é igual a 2.
  1. CCerto
  2. EErrado
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GabaritoC — Certo

Comentário gerado por IA. É um apoio ao estudo, ancorado em fontes, mas pode conter imprecisões — confira sempre na fonte oficial (lei, súmula, edital e gabarito da banca). Encontrou um erro? Use “Reportar”.

Desvio padrão da diferença de variáveis de Poisson

Gabarito: letra C (CERTO). O desvio padrão da diferença T−XT - X é igual a 2, pois T=X+Y+ZT = X + Y + Z e, portanto, T−X=Y+ZT - X = Y + Z. Como YY e ZZ são independentes e seguem distribuição de Poisson com médias 3 e 1, a variância da soma é a soma das variâncias: Var(Y+Z)=3+1=4Var(Y+Z) = 3 + 1 = 4, e o desvio padrão é √4=2√4 = 2.

A questão explora duas propriedades fundamentais da distribuição de Poisson: (1) a média é igual à variância, e (2) a soma de variáveis de Poisson independentes também é uma variável de Poisson, cuja média (e variância) é a soma das médias (e variâncias) individuais. O ponto central é perceber que T−X=(X+Y+Z)−X=Y+ZT - X = (X + Y + Z) - X = Y + Z, ou seja, a diferença entre TT e XX elimina a variável XX, restando apenas a soma de YY e ZZ.

Como Y∼Poisson(3)Y \sim Poisson(3) e Z∼Poisson(1)Z \sim Poisson(1), temos Var(Y)=3Var(Y) = 3 e Var(Z)=1Var(Z) = 1. Pela independência, Var(Y+Z)=Var(Y)+Var(Z)=3+1=4Var(Y+Z) = Var(Y) + Var(Z) = 3 + 1 = 4. O desvio padrão é a raiz quadrada da variância: 4=2\sqrt{4} = 2. Portanto, a afirmação está correta.

A pegadinha da banca está em tentar confundir o candidato com a variável XX: como T=X+Y+ZT = X + Y + Z, alguém poderia pensar que T−XT - X envolveria a variância de XX de alguma forma, mas a subtração cancela XX completamente. A operação T−XT - X resulta exatamente em Y+ZY + Z, e é sobre essa soma que devemos calcular a variância.

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Variáveis de Poisson independentes — só Y: 3; só Z: 1; Y∩Z: 0

Alternativa C — ✅ CERTO ⟵ GABARITO

A afirmação está correta. Como T=X+Y+ZT = X + Y + Z, temos que T−X=Y+ZT - X = Y + Z. As variáveis YY e ZZ são independentes e seguem distribuição de Poisson com médias 3 e 1, respectivamente. Na distribuição de Poisson, a variância é igual à média, então Var(Y)=3Var(Y) = 3 e Var(Z)=1Var(Z) = 1. Pela propriedade da independência, a variância da soma é a soma das variâncias: Var(Y+Z)=3+1=4Var(Y+Z) = 3 + 1 = 4. O desvio padrão é a raiz quadrada da variância: 4=2\sqrt{4} = 2. Portanto, o desvio padrão de T−XT - X é exatamente 2.

Alternativa E — ❌ Incorreta

A afirmação de que o desvio padrão não é igual a 2 está incorreta. O cálculo demonstra que T−X=Y+ZT - X = Y + Z, e como YY e ZZ são independentes com distribuição de Poisson de médias 3 e 1, a variância da soma é 3+1=43 + 1 = 4, resultando em desvio padrão 4=2\sqrt{4} = 2. A alternativa E nega um resultado matematicamente correto.

PEGA ESSA DICA!

Em questões com variáveis de Poisson, lembre-se sempre: média = variância. E quando houver soma ou diferença de variáveis independentes, a variância do resultado é a soma das variâncias. Aqui, a chave foi simplificar T−XT - X para Y+ZY + Z antes de calcular.

Gabarito: letra C (CERTO).

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