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Questão de Estatística — Principais distribuições de probabilidade — CESPE / CEBRASPE 2023

EstatísticaPrincipais distribuições de probabilidade
Código
ce165024
Banca
CESPE / CEBRASPE
Órgão
TJ-ES
Ano
2023
Nível
Superior
Cargo
Analista Judiciário - Especialidade: Estatística

Diariamente, T mandados judiciais são distribuídos para certo oficial de justiça. Sabe-se que T = X + Y + Z  , em que X representa o número diário de mandados de intimação, Y, a quantidade diária de mandados de citação e Z, o total diário de mandados de condução coercitiva. As variáveis aleatórias X, Y e Z são independentes e seguem a distribuição de Poisson com médias 5, 3 e 1, respectivamente.


Com respeito a essa situação hipotética e considerando que e denote a constante de Néper (número exponencial), julgue o próximo item. 

P(T = 3) = 243 ×-⁹ .
  1. CCerto
  2. EErrado
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GabaritoE — Errado

Comentário gerado por IA. É um apoio ao estudo, ancorado em fontes, mas pode conter imprecisões — confira sempre na fonte oficial (lei, súmula, edital e gabarito da banca). Encontrou um erro? Use “Reportar”.

Distribuição de Poisson: soma de variáveis independentes

Gabarito: ERRADO. A afirmação de que P(T=3)=243×e−9P(T=3) = 243 \times e^{-9} está incorreta. Pela propriedade reprodutiva da distribuição de Poisson, a soma de variáveis de Poisson independentes também segue Poisson com parâmetro igual à soma dos parâmetros: λT=λX+λY+λZ=5+3+1=9\lambda_T = \lambda_X + \lambda_Y + \lambda_Z = 5 + 3 + 1 = 9. Assim, P(T=3)=e−9⋅933!=2432e−9P(T=3) = \frac{e^{-9} \cdot 9^3}{3!} = \frac{243}{2} e^{-9}, e não 243e−9243 e^{-9}.

A questão explora a propriedade reprodutiva da distribuição de Poisson: se Xi∼Poisson(λi)X_i \sim Poisson(\lambda_i) são independentes, então T=∑Xi∼Poisson(∑λi)T = \sum X_i \sim Poisson(\sum \lambda_i). Aqui, T=X+Y+ZT = X + Y + Z, com X∼Poisson(5)X \sim Poisson(5), Y∼Poisson(3)Y \sim Poisson(3) e Z∼Poisson(1)Z \sim Poisson(1), independentes. Logo, T∼Poisson(9)T \sim Poisson(9).

A função de probabilidade de Poisson é dada por P(T=k)=e−λλkk!P(T = k) = \frac{e^{-\lambda} \lambda^k}{k!}. Para k=3k = 3 e λ=9\lambda = 9:

P(T=3)=e−9⋅933!=e−9⋅7296=7296e−9=2432e−9.P(T=3) = \frac{e^{-9} \cdot 9^3}{3!} = \frac{e^{-9} \cdot 729}{6} = \frac{729}{6} e^{-9} = \frac{243}{2} e^{-9}.

O valor correto é 2432e−9\frac{243}{2} e^{-9}, que é metade do valor apresentado no item (243e−9243 e^{-9}). O erro está no fator: o item omitiu a divisão por 3!=63! = 6, que reduz o valor por um fator de 6, resultando em 243/2243/2 em vez de 243243.

NÃO CAIA NESSA!

A banca explora a confusão entre o parâmetro da Poisson (que é a média λ\lambda) e o fatorial no denominador da fórmula. O candidato pode calcular corretamente λT=9\lambda_T = 9, mas esquecer de dividir por 3!3! ao aplicar a fórmula, chegando a 243e−9243 e^{-9} em vez de 2432e−9\frac{243}{2} e^{-9}. Lembre-se: a fórmula exige k!k! no denominador — é isso que transforma 729/6729/6 em 243/2243/2.

  1. 1Somar parâmetros: λ = 9
  2. 2Aplicar fórmula: e⁻⁹·9³/3!
  3. 3Resultado: 243/2·e⁻⁹
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Alternativa E — ❌ Incorreta (gabarito)

A afirmação está errada porque o valor correto de P(T=3)P(T=3) é 2432e−9\frac{243}{2} e^{-9}, e não 243e−9243 e^{-9}. O erro está no fator multiplicativo: o item apresenta 243e−9243 e^{-9}, mas o cálculo correto resulta em 2432e−9\frac{243}{2} e^{-9} (metade). A divisão por 3!=63! = 6 é essencial e foi omitida.

Gabarito: ERRADO

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