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Questão de Estatística — Principais distribuições de probabilidade — CESPE / CEBRASPE 2023

EstatísticaPrincipais distribuições de probabilidade
Código
ce165025
Banca
CESPE / CEBRASPE
Órgão
TJ-ES
Ano
2023
Nível
Superior
Cargo
Analista Judiciário - Especialidade: Estatística

Diariamente, T mandados judiciais são distribuídos para certo oficial de justiça. Sabe-se que T = X + Y + Z  , em que X representa o número diário de mandados de intimação, Y, a quantidade diária de mandados de citação e Z, o total diário de mandados de condução coercitiva. As variáveis aleatórias X, Y e Z são independentes e seguem a distribuição de Poisson com médias 5, 3 e 1, respectivamente.


Com respeito a essa situação hipotética e considerando que e denote a constante de Néper (número exponencial), julgue o próximo item. 

P(X = 1, Y = 1 | Z = 1) = 15 × e-⁸.
  1. CCerto
  2. EErrado
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GabaritoC — Certo

Comentário gerado por IA. É um apoio ao estudo, ancorado em fontes, mas pode conter imprecisões — confira sempre na fonte oficial (lei, súmula, edital e gabarito da banca). Encontrou um erro? Use “Reportar”.

Probabilidade condicional com variáveis de Poisson independentes

Gabarito: letra C (CERTO). Como X, Y e Z são independentes, a probabilidade conjunta fatora no produto das marginais, e a condição Z = 1 não altera a distribuição de X e Y — logo P(X=1,Y=1∣Z=1)=P(X=1)⋅P(Y=1)P(X=1, Y=1 \mid Z=1) = P(X=1) \cdot P(Y=1). Aplicando a função de probabilidade da Poisson P(N=k)=e−λλkk!P(N=k) = \frac{e^{-\lambda} \lambda^k}{k!} com λX=5\lambda_X = 5 e λY=3\lambda_Y = 3, obtemos exatamente 15⋅e−815 \cdot e^{-8}, confirmando o item.

A questão explora dois conceitos centrais: a independência entre variáveis aleatórias e a função de probabilidade da distribuição de Poisson. Quando X, Y e Z são independentes, a probabilidade conjunta de eventos envolvendo X e Y não é afetada pelo valor de Z — a condição Z=1Z=1 é apenas um "ruído" que não altera o cálculo, pois P(X=1,Y=1∣Z=1)=P(X=1,Y=1)P(X=1, Y=1 \mid Z=1) = P(X=1, Y=1).

A função de probabilidade da Poisson com parâmetro λ\lambda é:

P(N=k)=e−λλkk!P(N = k) = \frac{e^{-\lambda} \lambda^k}{k!}

Para X com λX=5\lambda_X = 5 e Y com λY=3\lambda_Y = 3, temos:

P(X=1)=e−5⋅511!=5e−5P(X=1) = \frac{e^{-5} \cdot 5^1}{1!} = 5e^{-5}
P(Y=1)=e−3⋅311!=3e−3P(Y=1) = \frac{e^{-3} \cdot 3^1}{1!} = 3e^{-3}

Pela independência:

P(X=1,Y=1)=P(X=1)⋅P(Y=1)=(5e−5)⋅(3e−3)=15e−8P(X=1, Y=1) = P(X=1) \cdot P(Y=1) = (5e^{-5}) \cdot (3e^{-3}) = 15e^{-8}

O resultado bate exatamente com o enunciado: 15×e−815 \times e^{-8}.

NÃO CAIA NESSA!

A banca tenta confundir ao incluir a condição Z=1Z=1. Como as variáveis são independentes, essa condição é irrelevante — mas o candidato pode tentar usar a fórmula de probabilidade condicional P(A∣B)=P(A∩B)/P(B)P(A|B) = P(A \cap B)/P(B) e complicar o cálculo. A chave é perceber que a independência elimina a necessidade de condicionar.

Caso

Atribuição

Resultado

Independência (Z=1 irrelevante)

P(X=1,Y=1|Z=1) = P(X=1)·P(Y=1)

Consistente

Poisson X (λ=5)

P(X=1) = 5e⁻⁵

Consistente

Poisson Y (λ=3)

P(Y=1) = 3e⁻³

Consistente

Produto final

(5e⁻⁵)·(3e⁻³) = 15e⁻⁸

Consistente

Comparação com enunciado

15e⁻⁸ = 15e⁻⁸

Consistente

Alternativa C — ✅ CERTO ⟵ GABARITO

O item está correto. A independência entre X, Y e Z garante que P(X=1,Y=1∣Z=1)=P(X=1,Y=1)P(X=1, Y=1 \mid Z=1) = P(X=1, Y=1). Calculando cada probabilidade pela fórmula da Poisson e multiplicando, obtemos 15e−815e^{-8}, exatamente o valor proposto.

Gabarito: letra C (CERTO).

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