Questão de Estatística — Amostragem — CESPE / CEBRASPE 2023

Variância da razão entre a média amostral e o desvio padrão amostral

Gabarito: CERTO. A variância da razão $\frac{\bar{X} - \mu}{S}$ é igual a $\frac{1}{n-2}$, que para $n = 17$ resulta em $\frac{1}{15} \approx 0{,}0667$, valor inferior a 0,5. Isso decorre da distribuição t de Student com $n-1$ graus de liberdade, cuja variância é $\frac{k}{k-2}$ para $k > 2$.

A questão envolve a distribuição amostral da estatística $T = \frac{\bar{X} - \mu}{S/\sqrt{n}}$, que segue uma distribuição t de Student com $n-1$ graus de liberdade. No entanto, a razão pedida é $\frac{\bar{X} - \mu}{S}$, que pode ser reescrita como $\frac{\bar{X} - \mu}{S/\sqrt{n}} \cdot \frac{1}{\sqrt{n}}$. Assim, a variância dessa razão é a variância da t de Student dividida por $n$.

A variância de uma distribuição t de Student com $k$ graus de liberdade é $\frac{k}{k-2}$ (para $k > 2$). Aqui, $k = n-1 = 16$, então a variância da t é $\frac{16}{14} = \frac{8}{7}$. Dividindo por $n = 17$, obtemos:

Esse valor é claramente inferior a 0,5. A pegadinha está em confundir a razão com a estatística t usual, que tem variância $\frac{k}{k-2}$ (aqui $\frac{8}{7}$), mas a divisão por $\sqrt{n}$ reduz drasticamente a variância. O candidato que não percebe o fator $\sqrt{n}$ pode marcar errado, achando que a variância seria $\frac{8}{7} > 0{,}5$.

Gabarito: CERTO