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Questão de Estatística — Amostragem — CESPE / CEBRASPE 2023

EstatísticaAmostragem
Código
ce165027
Banca
CESPE / CEBRASPE
Órgão
TJ-ES
Ano
2023
Nível
Superior
Cargo
Analista Judiciário - Especialidade: Estatística

   Uma amostra aleatória simples de tamanho n = 17 é retirada de uma distribuição normal com média u e desvio padrão igual a 2. A variância amostral é representada por S² e X denota a média amostral.


Tendo como referência as informações precedentes e considerando S = √S², julgue o seguinte item.

A variância de S² é igual a 2.
  1. CCerto
  2. EErrado
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GabaritoC — Certo

Comentário gerado por IA. É um apoio ao estudo, ancorado em fontes, mas pode conter imprecisões — confira sempre na fonte oficial (lei, súmula, edital e gabarito da banca). Encontrou um erro? Use “Reportar”.

Variância da variância amostral

Gabarito: CERTO. Para uma amostra aleatória simples de tamanho nn retirada de uma população normal com variância populacional σ2\sigma^2, a variância da variância amostral S2S^2 é dada por Var(S2)=2σ4n−1\text{Var}(S^2) = \dfrac{2\sigma^4}{n-1}. Com σ=2\sigma = 2 (logo σ2=4\sigma^2 = 4) e n=17n = 17, temos Var(S2)=2⋅4217−1=3216=2\text{Var}(S^2) = \dfrac{2 \cdot 4^2}{17-1} = \dfrac{32}{16} = 2. Portanto, a afirmação está correta.

A variância amostral S2S^2 é um estimador não viesado da variância populacional σ2\sigma^2, ou seja, E(S2)=σ2E(S^2) = \sigma^2. Além disso, quando a população é normal, a quantidade (n−1)S2σ2\dfrac{(n-1)S^2}{\sigma^2} segue uma distribuição qui-quadrado com n−1n-1 graus de liberdade. Como a variância de uma variável qui-quadrado com kk graus de liberdade é 2k2k, temos:

Var((n−1)S2σ2)=2(n−1)\text{Var}\left(\frac{(n-1)S^2}{\sigma^2}\right) = 2(n-1)

Usando a propriedade Var(aX)=a2Var(X)\text{Var}(aX) = a^2\text{Var}(X), obtemos:

(n−1)2σ4Var(S2)=2(n−1)⇒Var(S2)=2σ4n−1\frac{(n-1)^2}{\sigma^4}\text{Var}(S^2) = 2(n-1) \Rightarrow \text{Var}(S^2) = \frac{2\sigma^4}{n-1}

Substituindo σ2=4\sigma^2 = 4 e n=17n = 17:

Var(S2)=2⋅4216=3216=2\text{Var}(S^2) = \frac{2 \cdot 4^2}{16} = \frac{32}{16} = 2

A pegadinha da banca está em confundir a variância de S2S^2 com a variância populacional σ2\sigma^2 ou com a variância da média amostral. Aqui, o valor 2 é exatamente o resultado do cálculo, não um número aleatório.

NÃO CAIA NESSA!

A banca explora a confusão entre a variância da variância amostral e a variância populacional. Muitos candidatos calculam Var(S2)=σ2=4\text{Var}(S^2) = \sigma^2 = 4 ou usam a fórmula da variância da média (σ2/n\sigma^2/n), obtendo 4/174/17, e marcam errado. Mas a fórmula correta é Var(S2)=2σ4n−1\text{Var}(S^2) = \dfrac{2\sigma^4}{n-1}, que com os dados do enunciado resulta exatamente em 2. Fique atento: quando a questão fala em "variância de S2S^2", ela quer a variabilidade do estimador, não o parâmetro populacional.

Gabarito: CERTO.

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