Estatística · CESPE / CEBRASPE · 2023 | Questão sqc-ce165028

Distribuição amostral da variância

Gabarito: ERRADO. A variância amostral $S^2$ não segue uma distribuição simétrica em torno de 4; na verdade, a variável $\frac{(n-1)S^2}{\sigma^2}$ segue uma distribuição qui-quadrado com $n-1$ graus de liberdade, que é assimétrica à direita. Com $n=17$ e $\sigma^2=4$ , a média de $S^2$ é $\sigma^2=4$ , mas a distribuição não é simétrica — a simetria é uma propriedade da distribuição normal, não da qui-quadrado.

A distribuição amostral da variância é um tópico clássico de inferência estatística. Quando a população é normal, a estatística

\frac{(n-1)S^2}{\sigma^2} \sim \chi^2_{n-1}

ou seja, segue uma distribuição qui-quadrado com $n-1$ graus de liberdade. Essa distribuição é assimétrica à direita (positivamente assimétrica), com média $k$ e variância $2k$ , onde $k = n-1$ são os graus de liberdade. A assimetria diminui à medida que $k$ aumenta, mas para $k=16$ (nosso caso) a distribuição ainda é claramente assimétrica.

A esperança da variância amostral é $E(S^2) = \sigma^2$ , e a variância é $Var(S^2) = \frac{2\sigma^4}{n-1}$ . No problema, $\sigma = 2$ , logo $\sigma^2 = 4$ . Portanto, $E(S^2) = 4$ , mas isso não implica simetria em torno de 4 — a média ser 4 não torna a distribuição simétrica. A simetria seria uma propriedade da distribuição normal, mas $S^2$ não é normal; é uma transformação da qui-quadrado.

A pegadinha da banca está em confundir o valor esperado (que é 4) com a forma da distribuição. O candidato pode pensar: "se a média é 4, a distribuição é simétrica em torno de 4" — mas isso é falso. A simetria é uma propriedade da curva, não da média. A distribuição qui-quadrado é sempre assimétrica à direita, e a assimetria só desaparece no limite quando os graus de liberdade tendem ao infinito.

Caso	Atribuição	Resultado
1	$(E(S^2) = \sigma^2 = 4)$	Média é 4, mas não implica simetria
2	$(\frac{(n-1)S^2}{\sigma^2} \sim \chi^2_{16})$	Distribuição assimétrica à direita
3	(S^2) é transformação da qui-quadrado	Não é normal, logo não é simétrica
4	Afirmativa: "simétrica em torno de 4"	Contradição — item ERRADO

Item — ❌ ERRADO

A afirmativa diz que "a variância amostral segue uma distribuição simétrica em torno de 4". Isso é falso por dois motivos:

A distribuição de $S^2$ não é simétrica. A variável $\frac{(n-1)S^2}{\sigma^2}$ segue qui-quadrado com $n-1=16$ graus de liberdade, que é assimétrica à direita. A simetria é característica da distribuição normal, não da qui-quadrado.

O valor 4 é a média, não o eixo de simetria. De fato, $E(S^2) = \sigma^2 = 4$ , mas a média ser 4 não torna a distribuição simétrica em torno de 4. A distribuição qui-quadrado tem cauda longa à direita, então a média é puxada para a direita da moda.

Portanto, o item está ERRADO.

NÃO CAIA NESSA!

A banca explora a confusão entre valor esperado e simetria. O candidato calcula $E(S^2) = \sigma^2 = 4$ e conclui que a distribuição é simétrica em torno de 4. Mas a simetria é uma propriedade da forma da distribuição, não da média. A distribuição qui-quadrado é sempre assimétrica à direita, e a média ser 4 não a torna simétrica. Fique atento: a média de uma distribuição assimétrica não é o centro de simetria.

PEGA ESSA DICA!

Para questões de distribuição amostral da variância, lembre-se sempre da relação com a qui-quadrado: $\frac{(n-1)S^2}{\sigma^2} \sim \chi^2_{n-1}$ . A partir dela, você tira a esperança ( $E(S^2)=\sigma^2$ ) e a variância ( $Var(S^2)=\frac{2\sigma^4}{n-1}$ ). E lembre: qui-quadrado é assimétrica à direita, sempre. Se a questão falar em "simetria" da variância amostral, desconfie — a não ser que $n$ seja muito grande (aproximação normal), a distribuição é assimétrica.

Gabarito: ERRADO.

Questão de Estatística — Principais distribuições de probabilidade — CESPE / CEBRASPE 2023

Distribuição amostral da variância

Item — ❌ ERRADO